📈 المتتاليات العددية سؤال على 4 نقطة

متتالية رقم معاملات مؤسسة

متتالية حسابية-هندسية، الرتابة والتقارب: أين تذهب النقط في باكالوريا العلوم الاقتصادية.

📋 نص السؤال

يُنمذَج رقم المعاملات السنوي لمؤسسة، معبَّرًا عنه بآلاف الدراهم، بالمتتالية $(u_{n})$ المعرفة بـ:

$u_{0} = 100$ ولكل عدد صحيح طبيعي $n$ ، $u_{n + 1} = 0, 9 u_{n} + 20$ .

احسب $u_{1}$ و $u_{2}$ .
نضع، لكل عدد صحيح طبيعي $n$ ، $v_{n} = u_{n} - 200$ . بيّن أن $(v_{n})$ متتالية هندسية سنحدد أساسها وحدّها الأول.
استنتج أنه، لكل عدد صحيح طبيعي $n$ ، $u_{n} = 200 - 100 \times 0, 9^{n}$ .
ادرس منحى تغير $(u_{n})$ ، ثم حدّد $n \to + \infty lim u_{n}$ وأوّل النتيجة في سياق المؤسسة.

🔍 سلم التنقيط، سطرًا بسطر أين تذهب كل نقطة

1

حساب $u_{1} = 0, 9 \times 100 + 20 = 110$
+0,25

💡 تطبيق بسيط لعلاقة الترجع، لكن القيمة العددية الدقيقة يجب أن تظهر لتُنقَّط.
2

حساب $u_{2} = 0, 9 \times 110 + 20 = 119$
+0,25

💡 إعادة استعمال $u_{1}$ الموجودة في المرحلة السابقة؛ خطأ حسابي هنا لا يعاقب ما يليه إن بقيت الطريقة صحيحة.
3

التعبير عن $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 200 = 0, 9 u_{n} + 20 - 200 = 0, 9 u_{n} - 180$
+0,5

💡 الانطلاق من تعريف $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 200$ وتعويض $u_{n + 1}$ بالعلاقة المعطاة: إنها نقطة انطلاق البرهان الإجبارية.
4

التعميل: $v_{n + 1} = 0, 9 (u_{n} - 200) = 0, 9 v_{n}$
+0,75

💡 التعميل بـ $0, 9$ هو المرحلة المفتاحية التي تُثبت الطابع الهندسي؛ بدونها لا يكون الاستنتاج «متتالية هندسية» مبررًا.
5

الاستنتاج: $(v_{n})$ متتالية هندسية أساسها $q = 0, 9$ وحدّها الأول $v_{0} = u_{0} - 200 = - 100$
+0,5

💡 يجب إعطاء الوسيطين $q$ و $v_{0}$ صراحةً، وليس فقط التأكيد على أن المتتالية هندسية.
6

كتابة $v_{n} = v_{0} \times q^{n} = - 100 \times 0, 9^{n}$ ثم $u_{n} = v_{n} + 200 = 200 - 100 \times 0, 9^{n}$
+0,75

💡 تطبيق صيغة الحد العام لمتتالية هندسية، ثم العودة إلى $u_{n}$ عبر $u_{n} = v_{n} + 200$ : نسيان العودة إلى $u_{n}$ خطأ متكرر.
7

إشارة $u_{n + 1} - u_{n}$ : $u_{n + 1} - u_{n} = v_{n + 1} - v_{n} = - 0, 1 v_{n} = 10 \times 0, 9^{n} > 0$ ، إذن $(u_{n})$ تزايدية
+0,5

💡 يريد المصحح رؤية حساب الفرق مسوقًا إلى إشارة صريحة، وليس فقط «يبدو أن المتتالية تزايدية».
8

النهاية: $0 < 0, 9 < 1$ إذن $n \to + \infty lim 0, 9^{n} = 0$ ، ومنه $n \to + \infty lim u_{n} = 200$ ؛ التأويل: يستقر رقم المعاملات حول $200$ ألف درهم على المدى البعيد
+0,5

💡 تبرير نهاية $0, 9^{n}$ بالشرط $0 < q < 1$ ، ثم ربط النتيجة الرياضية بالسياق الاقتصادي للنص.

مجموع نقط السؤال 4 نقطة

🪙 عالق؟ إليك كيف تقتنص النقط

حتى وإن توقفت عند البرهان، هذه النقط تُحصَد دائمًا تقريبًا:

$u_{1}$ و $u_{2}$ مضمونتان: إنه حساب مباشر بصيغة الترجع، لا حاجة لإيجاد أي منهجية.
بداية السؤال 2 تُنقَّط وحدها: كتابة $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 200$ وتعويض $u_{n + 1}$ ، حتى دون التعميل الصحيح بعد ذلك.
الحد الأول $v_{0} = - 100$ يُحسب في سطر واحد انطلاقًا من $u_{0} = 100$ ، بمعزل عن الباقي.
نهاية $0, 9^{n}$ نتيجة درس ( $0 < q < 1 \Rightarrow q^{n} \to 0$ ): اذكرها حتى لو لم تجد عبارة $u_{n}$ .

✍️ الجواب نفسه: تحرير سيّئ ثم جيّد

نسخة متسرعة: « $(v_{n})$ هندسية أساسها $0, 9$ » دون حساب $v_{n + 1}$ بدلالة $v_{n}$ ؛ $u_{n} = 200 - 100 \times 0, 9^{n}$ مُعطاة دون مرحلة وسيطة؛ «المتتالية تتقارب نحو 200» دون تبرير سبب $0, 9^{n} \to 0$ .

نسخة كاملة: $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 200 = 0, 9 u_{n} - 180 = 0, 9 (u_{n} - 200) = 0, 9 v_{n}$ إذن $(v_{n})$ هندسية أساسها $0, 9$ و $v_{0} = - 100$ ؛ $v_{n} = - 100 \times 0, 9^{n}$ إذن $u_{n} = 200 - 100 \times 0, 9^{n}$ ؛ $u_{n + 1} - u_{n} = 10 \times 0, 9^{n} > 0$ إذن $(u_{n})$ تزايدية؛ بما أن $0 < 0, 9 < 1$ ، فإن $0, 9^{n} \to 0$ إذن $u_{n} \to 200$ ، يميل رقم المعاملات إلى الاستقرار حول $200$ ألف درهم.

🕵️

تدرّب على رصد ما يُكلّفك نقطًا

هل ستكتشف الخطأ الذي يُضيّع النقط في تصحيح ما؟ ← جد الخطأ

←

📈 دراسة دالة أسّية (شعبة العلوم الاقتصادية)

→ السابق

🛒 الاحتمالات: رضا الزبناء والقانون ذو الحدين

سلالم تنقيط أخرى مُفكَّكة

🔢 المتتاليات

برهان بالاستدلال بالترجع

📈 التحليل

إثبات أن معادلة تقبل حلا وحيدا (مبرهنة القيم الوسيطية)

📉 المتتاليات

إثبات تقارب متتالية تراجعية

📊 شاهد كل سلالم التنقيط المُفكَّكة ←