⚡ 362 انعكاس · ع.ر · ع.تج · أولى باك

الانعكاس الصحيح

التلميذ الجيد لا «يبحث» عشوائياً: إنه يتعرّف على نوع السؤال ويُفعِّل الطريقة الصحيحة فوراً. تجمع هذه الصفحة، فصلاً بفصل، الانعكاسات التي تُوفّر الوقت (والنقط) في الامتحان.

لكل وضعية: ما تراه في نص السؤال، والانعكاس الذي يجب تفعيله، ومثال سريع.

النهايات والاتصال 10

👁️ ترى

نهاية من الشكل

\frac{0}{0}

مع كثيرات حدود

⚡ الانعكاس

حلّل البسط والمقام (غالبًا بـ

(x - a)

)، ثم بسّط.

مثال:

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x \to 1 lim \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = 2

👁️ ترى

شكل

\frac{0}{0}

يحتوي على جذور مربعة

⚡ الانعكاس

اضرب في الكمية المرافقة لإزالة الجذر.

مثال:

\frac{x - 2}{x - 4} = \frac{1}{x + 2} x \to 4 \frac{1}{4}

👁️ ترى

نهاية عند

\pm \infty

لخارج قسمة كثيرتي حدود

⚡ الانعكاس

حلّل بالحد الأعلى (أعلى قوة) في البسط والمقام.

مثال:

\frac{3 x ^{2} - x}{2 x ^{2} + 1} \sim \frac{3 x ^{2}}{2 x ^{2}} x \to + \infty \frac{3}{2}

👁️ ترى

إثبات أن

f

متصلة عند $a$ (معرّفة بعبارتين)

⚡ الانعكاس

تحقق من

x \to a^{-} lim f = x \to a^{+} lim f = f (a)

مثال:

f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}

f (2) = 4

x \to 2 lim f = 4 = f (2)

👁️ ترى

إثبات أن المعادلة

f (x) = 0

تقبل حلاً

⚡ الانعكاس

مبرهنة القيم الوسيطية :

f

متصلة و

f (a) f (b) < 0

. من أجل الوحدانية، أضف الرتابة القطعية.

مثال:

f (x) = x^{3} + x - 1

f (0) = - 1 < 0

f (1) = 1 > 0

⇒ جذر في

] 0; 1 [

👁️ ترى

نهاية تحتوي

sin (a x)

أو

tan (a x)

وتؤول إلى

\frac{0}{0}

⚡ الانعكاس

النهايات المثلثية المرجعية :

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}

. حلّل لإظهارها.

مثال:

x \to 0 lim \frac{sin ( 3 x )}{x} = 3 x \to 0 lim \frac{sin ( 3 x )}{3 x} = 3

👁️ ترى

شكل

\infty - \infty

مع جذور مربعة

⚡ الانعكاس

اضرب في الكمية المرافقة

A + B

لتحويلها إلى خارج قسمة، ثم ارفع الإبهام.

مثال:

x^{2} + x - x = \frac{x}{x ^{2} + x + x} x \to + \infty \frac{1}{2}

👁️ ترى

نهاية تحتوي جزءًا صحيحًا

⌊ x ⌋

أو تأطيرًا

⚡ الانعكاس

مبرهنة التقارب بالتأطير (الحاجزين) : أطّر

g (x) ⩽ f (x) ⩽ h (x)

بحيث

g, h

لهما نفس النهاية.

مثال:

x - 1 < ⌊ x ⌋ ⩽ x \Rightarrow x \to + \infty lim \frac{⌊ x ⌋}{x} = 1

👁️ ترى

إثبات أن دالة متصلة ورتيبة قطعًا تحقق تقابلًا

⚡ الانعكاس

مبرهنة التقابل :

f

متصلة ورتيبة قطعًا على

I

تحقق تقابلاً من

I

نحو

f (I)

؛ دالتها العكسية

f^{- 1}

متصلة ولها نفس الرتابة.

مثال:

f (x) = x^{3} + x

متصلة، تزايدية قطعًا على

R

، إذن تحقق تقابلاً من

R

نحو

R

👁️ ترى

توسيع

f

بالاتصال عند نقطة

a

ليست معرّفة فيها

⚡ الانعكاس

التوسيع بالاتصال : إذا كانت

x \to a lim f (x) = ℓ

موجودة (منتهية)، فوضع

\tilde{f} (a) = ℓ

يجعل

\tilde{f}

متصلة عند

a

مثال:

f (x) = \frac{sin x}{x}

تُوسَّع بوضع

\tilde{f} (0) = 1

المتتاليات العددية 10

👁️ ترى

متتالية تراجعية

u_{n + 1} = f (u_{n})

⚡ الانعكاس

ادرس

f

(الرتابة)، إشارة

u_{n + 1} - u_{n}

، وأطّر

(u_{n})

بالترجع.

مثال:

u_{n + 1} = u_{n} + 2

f (x) = x + 2

تزايدية

👁️ ترى

إثبات خاصية لكل $n$

⚡ الانعكاس

الاستدلال بالترجع : تهيئة + وراثة.

مثال: إثبات

k = 0 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2}

بالترجع

👁️ ترى

إثبات أن متتالية متقاربة

⚡ الانعكاس

أثبت أنها تزايدية ومكبورة (أو تناقصية ومحصورة من الأسفل).

مثال:

u_{n}

تزايدية و

u_{n} ⩽ 3

⇒

(u_{n})

متقاربة

👁️ ترى

متتالية تراجعية متقاربة، نبحث عن نهايتها $ℓ$

⚡ الانعكاس

حل المعادلة

f (ℓ) = ℓ

(النقطة الصامدة).

مثال:

u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 2}{2} \Rightarrow ℓ = \frac{ℓ + 2}{2} \Rightarrow ℓ = 2

👁️ ترى

مجموع

u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}

⚡ الانعكاس

تعرّف هل المتتالية حسابية أو هندسية وطبّق الصيغة.

مثال:

1 + q + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}

(

q \neq = 1

)

👁️ ترى

متتاليتان

(u_{n})

تزايدية و

(v_{n})

تناقصية مع

u_{n} ⩽ v_{n}

v_{n} - u_{n} \to 0

⚡ الانعكاس

متتاليتان متجاورتان : تتقاربان نحو نفس النهاية

ℓ

، مع

u_{n} ⩽ ℓ ⩽ v_{n}

مثال:

u_{n} = 1 - \frac{1}{n}, v_{n} = 1 + \frac{1}{n}

متجاورتان وتتقاربان نحو

1

👁️ ترى

متتالية معرّفة بـ

u_{n + 1} = f (u_{n})

مع

∣ f^{'} (x) ∣ ⩽ k < 1

⚡ الانعكاس

متراجحة التزايدات المنتهية :

∣ u_{n + 1} - ℓ ∣ ⩽ k ∣ u_{n} - ℓ ∣

، إذن

∣ u_{n} - ℓ ∣ ⩽ k^{n} ∣ u_{0} - ℓ ∣ \to 0

مثال: إذا كان

∣ f^{'} ∣ ⩽ \frac{1}{2}

f (ℓ) = ℓ

∣ u_{n} - ℓ ∣ ⩽ (\frac{1}{2})^{n} ∣ u_{0} - ℓ ∣

👁️ ترى

تأطير متتالية بمتتالية هندسية أو مقارنة

u_{n}

بـ

r^{n}

⚡ الانعكاس

المقارنة / التأطير للمتتاليات : إذا كان

0 ⩽ u_{n} ⩽ r^{n}

مع

0 < r < 1

، فإن

u_{n} \to 0

مثال:

0 ⩽ \frac{n}{2 ^{n}} ⩽ (\frac{3}{4})^{n}

من أجل

n ⩾ 4

، إذن

\frac{n}{2 ^{n}} \to 0

👁️ ترى

دراسة متتالية

v_{n} = \frac{u _{n} - b}{u _{n} - a}

مستنتجة من متتالية تجانسية

⚡ الانعكاس

متتالية مساعدة هندسية : ضع

v_{n}

مختارة جيدًا لتكون هندسية، احسب

v_{n}

، ثم عد إلى

u_{n}

مثال: إذا كان

u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{1 + u _{n}}

، فإن

v_{n} = \frac{1}{u _{n}}

حسابية :

v_{n} = v_{0} + n

👁️ ترى

عبارة من النوع

(1 + \frac{a}{n})^{n}

أو جداء حدود

⚡ الانعكاس

انتقل إلى $ln$ : ادرس

ln u_{n} = n ln (1 + \frac{a}{n})

واستعمل

ln (1 + t) \sim t

مثال:

ln (1 + \frac{1}{n})^{n} = n ln (1 + \frac{1}{n}) \to 1

، إذن

u_{n} \to e

الاشتقاق ودراسة الدوال 10

👁️ ترى

يُطلب منحى التغير

⚡ الانعكاس

ادرس إشارة $f^{'} (x)$ وضع جدول التغيرات.

مثال:

f (x) = x^{2} - 2 x

f^{'} (x) = 2 x - 2

: تناقص ثم تزايد عند

x = 1

👁️ ترى

إثبات متراجحة

f (x) ⩾ g (x)

⚡ الانعكاس

ادرس

h = f - g

: إشارتها عبر مشتقتها (غالبًا حد أدنى

⩾ 0

مثال:

e^{x} ⩾ x + 1

h (x) = e^{x} - x - 1

، الحد الأدنى

h (0) = 0

👁️ ترى

مماس عند

x = a

⚡ الانعكاس

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

مثال:

f (x) = x^{2}

عند

1

y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1

👁️ ترى

تأطير

∣ f (b) - f (a) ∣

من الأعلى

⚡ الانعكاس

متراجحة التزايدات المنتهية :

∣ f (b) - f (a) ∣ ⩽ M ∣ b - a ∣

مثال:

∣ sin b - sin a ∣ ⩽ ∣ b - a ∣

لأن

∣ cos ∣ ⩽ 1

👁️ ترى

حد أقصى/أدنى عند

a

⚡ الانعكاس

f^{'} (a) = 0

f^{'}

تغيّر إشارتها عند

a

مثال:

f (x) = x^{3}

f^{'} (0) = 0

لكن لا يوجد حد أقصى/أدنى

👁️ ترى

شكل غير محدد

\frac{0}{0}

أو معدل

\frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}

يجب التعرف عليه

⚡ الانعكاس

العدد المشتق كنهاية : تعرّف على

x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = f^{'} (a)

مثال:

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = (exp)^{'} (0) = 1

👁️ ترى

دالة مركبة

f = g \circ u

أو

u

\frac{1}{u}

يجب اشتقاقها

⚡ الانعكاس

مشتقة دالة مركبة :

(g \circ u)^{'} = u^{'} \cdot (g^{'} \circ u)

(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}

مثال:

(x^{2} + 1)^{'} = \frac{2 x}{2 x ^{2} + 1} = \frac{x}{x ^{2} + 1}

👁️ ترى

فرع لا نهائي : دراسة سلوك المنحنى عند

\pm \infty

⚡ الانعكاس

مقارب مائل : إذا كان

x \to + \infty lim (f (x) - (a x + b)) = 0

، فالمستقيم

y = a x + b

مقارب ؛ وإلا ادرس

\frac{f ( x )}{x}

مثال:

f (x) = x + \frac{1}{x}

f (x) - x = \frac{1}{x} \to 0

، مقارب

y = x

👁️ ترى

دراسة التقعر أو البحث عن نقطة انعطاف

⚡ الانعكاس

إشارة $f^{''}$ :

f^{''} > 0 \Rightarrow

محدّبة،

f^{''} < 0 \Rightarrow

مقعّرة ؛

f^{''}

تنعدم مع تغيير الإشارة

\Rightarrow

نقطة انعطاف.

مثال:

f (x) = x^{3}

f^{''} (x) = 6 x

تغيّر إشارتها عند

0

، انعطاف عند

O

👁️ ترى

دالة

f

تقابلية نريد مشتقة

f^{- 1}

⚡ الانعكاس

مشتقة الدالة العكسية :

(f^{- 1})^{'} (y) = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( y ) )}

إذا كان

f^{'} (f^{- 1} (y)) \neq = 0

مثال:

f (x) = x^{3}, f^{- 1} (y) = y^{1/3}

(f^{- 1})^{'} (8) = \frac{1}{f ^{'} ( 2 )} = \frac{1}{12}

الدوال اللوغاريتمية 9

👁️ ترى

معادلة/متراجحة تحتوي

ln

⚡ الانعكاس

ابحث أولاً عن المجال (ما هو داخل

ln

يجب أن يكون

> 0

)، ثم استعمل أن

ln

تزايدية قطعًا وتقابلية.

مثال:

ln (x - 1) = ln 3 ⟺ x - 1 = 3 ⟺ x = 4

(مع

x > 1

)

👁️ ترى

ln

لـ جداء أو خارج قسمة أو قوة

⚡ الانعكاس

فكّك باستعمال الخاصيات :

ln (ab) = ln a + ln b

ln \frac{a}{b} = ln a - ln b

ln (a^{n}) = n ln a

مثال:

ln (x^{2}) = 2 ln ∣ x ∣

👁️ ترى

نهاية تحتوي

ln

عند

+ \infty

أو عند

0^{+}

⚡ الانعكاس

فكّر في النموّات المقارنة :

x

يتغلب على

ln x

مثال:

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0

👁️ ترى

اشتقاق

ln (u (x))

⚡ الانعكاس

(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}

(مع

u > 0

مثال:

(ln (x^{2} + 1))^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}

👁️ ترى

دالة أصلية من الشكل

\frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )}

⚡ الانعكاس

تعرّف على دالة أصلية من نوع

ln ∣ u (x) ∣

. إذا كان

u > 0

على المجال، الدالة الأصلية

= ln (u (x)) + C

مثال:

\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = ln (x^{2} + 1) + C

👁️ ترى

دراسة إشارة

ln x

أو حل

ln x ≶ 0

⚡ الانعكاس

استعمل أن

ln

تزايدية قطعًا و

ln 1 = 0

ln x > 0 ⟺ x > 1

ln x < 0 ⟺ 0 < x < 1

مثال:

ln x > 0 ⟺ x > 1

ln x < 0 ⟺ 0 < x < 1

👁️ ترى

نهاية من نوع

\frac{ln x}{x ^{n}}

أو

x^{n} ln x

(نموّات مقارنة)

⚡ الانعكاس

طبّق النموّات المقارنة :

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x ^{n}} = 0

x \to 0^{+} lim x^{n} ln x = 0

(

n > 0

مثال:

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0

👁️ ترى

نهاية تحتوي

\frac{ln ( 1 + x )}{x}

عند

0

⚡ الانعكاس

تعرّف على معدل التغير لـ

ln

عند

1

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1

مثال:

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + 3 x )}{x} = 3

👁️ ترى

دالة

ln

مركبة، نريد دالتها التقابلية العكسية

⚡ الانعكاس

ln :] 0, + \infty [\to R

تحقق تقابلاً دالته العكسية

exp

. حل

ln (f (x)) = y

بـ

f (x) = e^{y}

مثال:

ln (2 x) = 3 ⟺ 2 x = e^{3} ⟺ x = \frac{e ^{3}}{2}

الدوال الأسية 9

👁️ ترى

معادلة/متراجحة تحتوي

e^{x}

⚡ الانعكاس

استعمل

e^{a} = e^{b} ⟺ a = b

e^{a} < e^{b} ⟺ a < b

. تذكير :

e^{x} > 0

دائمًا.

مثال:

e^{2 x} = e^{x + 1} ⟺ 2 x = x + 1 ⟺ x = 1

👁️ ترى

نهاية تحتوي

e^{x}

⚡ الانعكاس

النموّات المقارنة :

e^{x}

يتغلب على كل قوة لـ

x

مثال:

x \to + \infty lim x e^{- x} = 0

👁️ ترى

اشتقاق

e^{u (x)}

⚡ الانعكاس

(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}

مثال:

(e^{x^{2}})^{'} = 2 x e^{x^{2}}

👁️ ترى

تبسيط عبارة تحتوي

exp

ln

⚡ الانعكاس

e^{l n a} = a

(

a > 0

) و

ln (e^{x}) = x

مثال:

e^{2 l n x} = (e^{l n x})^{2} = x^{2}

(

x > 0

)

👁️ ترى

نهاية من نوع

\frac{e ^{x}}{x ^{n}}

أو

x^{n} e^{x}

عند

\pm \infty

⚡ الانعكاس

النموّات المقارنة :

x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty

x \to - \infty lim x^{n} e^{x} = 0

مثال:

x \to - \infty lim x e^{x} = 0

👁️ ترى

نهاية تحتوي

\frac{e ^{x} - 1}{x}

عند

0

⚡ الانعكاس

تعرّف على معدل التغير لـ

exp

عند

0

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1

مثال:

x \to 0 lim \frac{e ^{2 x} - 1}{x} = 2

👁️ ترى

دالة أصلية من الشكل

u^{'} (x) e^{u (x)}

⚡ الانعكاس

دالة أصلية فورية :

\int u^{'} (x) e^{u (x)} d x = e^{u (x)} + C

مثال:

\int 2 x e^{x^{2}} d x = e^{x^{2}} + C

👁️ ترى

دالة تحتوي

e^{x}

نبحث فيها عن مقارب

⚡ الانعكاس

عند

- \infty

e^{x} \to 0

يعطي غالبًا مقاربًا أفقيًا ؛ ادرس

f (x) - (a x + b)

من أجل مقارب مائل.

مثال:

f (x) = x + e^{- x}

: مقارب مائل

y = x

عند

+ \infty

👁️ ترى

دراسة زوجية

cosh

sinh

أو عبارة

e^{x} \pm e^{- x}

⚡ الانعكاس

ضع

f (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

(زوجية) أو

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

(فردية) وتحقق من

f (- x)

مثال:

f (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \Rightarrow f (- x) = - f (x)

المعادلات التفاضلية 9

👁️ ترى

y^{'} = a y

⚡ الانعكاس

الحلول :

x \mapsto C e^{a x}

مثال:

y^{'} = 2 y \Rightarrow y = C e^{2 x}

👁️ ترى

y^{'} = a y + b

⚡ الانعكاس

ابحث عن حل خاص ثابت

y_{p} = - \frac{b}{a}

، ثم أضف الحل المتجانس.

مثال:

y^{'} = 2 y + 4 \Rightarrow y_{p} = - 2, y = C e^{2 x} - 2

👁️ ترى

y^{''} + ω^{2} y = 0

⚡ الانعكاس

الحلول :

x \mapsto A cos (ω x) + B sin (ω x)

مثال:

y^{''} + 4 y = 0 \Rightarrow y = A cos (2 x) + B sin (2 x)

👁️ ترى

شروط ابتدائية

y (x_{0}), y^{'} (x_{0})

⚡ الانعكاس

عوّضها في الحل العام لتحديد الثوابت.

مثال:

y (0) = 1

في

y = C e^{2 x} \Rightarrow C = 1

👁️ ترى

y^{'} + a y = b

مع

a

ثابت (شكل

y^{'} = - a y + b

)

⚡ الانعكاس

الحل العام

y (x) = C e^{- a x} + \frac{b}{a}

؛ الثابت

\frac{b}{a}

هو الحل الخاص (نقطة التوازن).

مثال:

y^{'} + 2 y = 6 \Rightarrow y = C e^{- 2 x} + 3

👁️ ترى

معادلة

y^{'} = a y

ناتجة عن مسألة (تفكك، تبريد)

⚡ الانعكاس

النمذجة : المشتقة المتناسبة مع الكمية تعطي

y = y_{0} e^{a x}

؛ حدد

a

عبر معطى.

مثال:

N^{'} = - 0, 1 N, N (0) = 100 \Rightarrow N = 100 e^{- 0, 1 x}

👁️ ترى

البحث عن حل خاص ثم الحل العام

⚡ الانعكاس

الحل العام = حل خاص

+

الحل العام للمعادلة المتجانسة المرافقة.

مثال:

y^{'} - y = 2

: خاص

y_{p} = - 2

، متجانس

C e^{x}

، إذن

y = C e^{x} - 2

👁️ ترى

تغيير دالة

z = y - k

مقترح للرجوع إلى

z^{'} = a z

⚡ الانعكاس

ضع

z = y - k

(مع

k

نقطة التوازن)، فيصبح

z^{'} = y^{'}

وتصبح المعادلة متجانسة

z^{'} = a z

، حلها

z = C e^{a x}

مثال:

y^{'} = 3 (y - 5)

z = y - 5 \Rightarrow z^{'} = 3 z \Rightarrow y = 5 + C e^{3 x}

👁️ ترى

y^{''} + ω^{2} y = 0

مع سعة/طور أو

y (0), y^{'} (0)

معطاة

⚡ الانعكاس

الحل

y = A cos (ω x) + B sin (ω x)

؛ حدد

A, B

بالشروط، أو اكتب على شكل

R cos (ω x - φ)

مثال:

y^{''} + 4 y = 0, y (0) = 1, y^{'} (0) = 0 \Rightarrow y = cos (2 x)

الأعداد العقدية 10

👁️ ترى

يُطلب طبيعة مثلث

A B C

⚡ الانعكاس

احسب

\frac{c - a}{b - a}

: طويلته تقارن الأطوال، عمدته تعطي الزاوية.

مثال:

\frac{c - a}{b - a} = i

⇒ قائم الزاوية ومتساوي الساقين في

A

👁️ ترى

إثبات أن ثلاث نقط على استقامة واحدة

⚡ الانعكاس

\frac{c - a}{b - a} \in R

مثال:

\frac{c - a}{b - a} = 2 \in R

⇒

A, B, C

على استقامة واحدة

👁️ ترى

مثلث قائم الزاوية / تعامد

⚡ الانعكاس

\frac{c - a}{b - a}

عدد تخيلي صرف.

مثال:

\frac{c - a}{b - a} = - i

⇒

A = \frac{π}{2}

👁️ ترى

يُطلب قوة

z^{n}

⚡ الانعكاس

ضع

z

على الشكل المثلثي وطبّق مبرهنة موافر.

مثال:

(1 + i)^{8} = (2)^{8} e^{i 2 π} = 16

👁️ ترى

مجموعة نقط

M (z)

⚡ الانعكاس

ضع

z = x + i y

، أو أوّل

∣ z - a ∣ = r

(دائرة).

مثال:

∣ z - i ∣ = 2

⇒ دائرة مركزها

Ω (i)

، شعاعها

2

👁️ ترى

وضع عدد عقدي على الشكل المثلثي / الأسي

⚡ الانعكاس

احسب الطويلة

r = ∣ z ∣

ثم عمدة

θ

عبر

cos θ = \frac{a}{r}, sin θ = \frac{b}{r}

، واكتب

z = r e^{i θ}

مثال:

z = 1 + i \Rightarrow r = 2, θ = \frac{π}{4}, z = 2 e^{iπ /4}

👁️ ترى

دوران مركزه

Ω (ω)

وزاويته

θ

⚡ الانعكاس

استعمل الكتابة العقدية $z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω)$ لإيجاد الصورة أو السابق.

مثال: دوران مركزه

O

، زاويته

\frac{π}{2}

z^{'} = e^{iπ /2} z = i z

👁️ ترى

حل

z^{2} = a

أو معادلة من الدرجة الثانية بمعاملات عقدية

⚡ الانعكاس

ابحث عن الجذور المربعة

z = x + i y

عبر النظمة

x^{2} - y^{2} = ℜ (a), 2 x y = ℑ (a), x^{2} + y^{2} = ∣ a ∣

، ثم طبّق

\frac{- b \pm δ}{2 a}

مثال:

z^{2} = 3 + 4 i \Rightarrow z = \pm (2 + i)

لأن

(2 + i)^{2} = 3 + 4 i

👁️ ترى

تأويل

\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}

(الطويلة والعمدة)

⚡ الانعكاس

الطويلة تعطي النسبة

\frac{A C}{A B}

والعمدة تعطي الزاوية الموجّهة

(A B, A C)

مثال: إذا كان

\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} = i

فإن

A C = A B

والزاوية تساوي

\frac{π}{2}

👁️ ترى

تخطيط أو استعمال صيغ موافر / أويلر

⚡ الانعكاس

ضع

cos θ = \frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2}

sin θ = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i}

وطوّر بثنائي الحد من أجل التخطيط.

مثال:

cos^{2} θ = \frac{1 + cos 2 θ}{2}

الحسابيات 9

👁️ ترى

حل

a x + b y = c

في

Z

⚡ الانعكاس

تحقق أن

a \land b

يقسم

c

(بيزو)، أوجد حلا خاصا، ثم الحل العام.

مثال:

3 x + 5 y = 1

3 (2) + 5 (- 1) = 1

⇒

(x_{0}, y_{0}) = (2, - 1)

👁️ ترى

a ∣ b c

مع

a \land b = 1

⚡ الانعكاس

مبرهنة غوص : إذن

a ∣ c

مثال:

7 ∣ 3 k

7 \land 3 = 1

⇒

7 ∣ k

👁️ ترى

حساب باقي $a^{n}$ بترديد $m$

⚡ الانعكاس

ابحث عن دورية القوى (أو مبرهنة فيرما الصغرى).

مثال:

2^{n} [7]

2, 4, 1, 2, 4, 1 \dots

الدور

3

👁️ ترى

إثبات أن عددين صحيحين أوليان فيما بينهما

⚡ الانعكاس

أوجد

u, v

بحيث

a u + b v = 1

(بيزو).

مثال:

(n + 1) (1) + n (- 1) = 1

⇒

n

n + 1

أوليان فيما بينهما

👁️ ترى

استعمال مبرهنة فيرما الصغرى

⚡ الانعكاس

إذا كان

p

أوليا و

p ∤ a

، فإن

a^{p - 1} \equiv 1 [p]

؛ وإلا فإن

a^{p} \equiv a [p]

مثال:

2^{6} \equiv 1 [7]

إذن

2^{2026} = 2^{6 \cdot 337 + 4} \equiv 2^{4} \equiv 2 [7]

👁️ ترى

ترديد يُطلب حله

a x \equiv b [n]

⚡ الانعكاس

ابحث عن مقلوب

a

بترديد

n

(موجود إذا وفقط إذا

a \land n = 1

)، بواسطة بيزو، ثم

x \equiv a^{- 1} b [n]

مثال:

3 x \equiv 1 [7]

3^{- 1} \equiv 5

لأن

3 \cdot 5 = 15 \equiv 1

، إذن

x \equiv 5 [7]

👁️ ترى

العلاقة بين القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر

⚡ الانعكاس

استعمل $(a \land b) \times (a \lor b) = ∣ ab ∣$ لاستنتاج أحدهما من الآخر.

مثال:

a \land b = 6, ab = 360 \Rightarrow a \lor b = \frac{360}{6} = 60

👁️ ترى

التحليل إلى عوامل أولية / عدد القواسم

⚡ الانعكاس

إذا كان

n = \prod p_{i}^{α_{i}}

، فإن عدد القواسم هو

\prod (α_{i} + 1)

مثال:

72 = 2^{3} \cdot 3^{2}

له

(3 + 1) (2 + 1) = 12

قاسما.

👁️ ترى

تحديد قاسم مشترك أكبر بدلالة وسيط

n

⚡ الانعكاس

طبّق خوارزمية إقليدس على العبارتين لإظهار تركيبة ثابتة تؤطّر القاسم المشترك الأكبر.

مثال:

(2 n + 3) \land (n + 1)

2 n + 3 - 2 (n + 1) = 1

، إذن القاسم المشترك الأكبر يساوي

1

الترتيب والتوافيق 9

👁️ ترى

سحب مرتب، بدون إرجاع

⚡ الانعكاس

التراتيب :

A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!}

مثال:

A_{5}^{2} = 5 \times 4 = 20

👁️ ترى

سحب غير مرتب (قبضة، لجنة)

⚡ الانعكاس

التوافيق :

(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}

مثال:

(2 5) = 10

👁️ ترى

سحب مرتب مع إرجاع (رموز، كلمات)

⚡ الانعكاس

مبدأ الضرب :

p^{n}

(أو

n^{p}

حسب الصيغة).

مثال: رموز من

3

أرقام :

1 0^{3} = 1000

👁️ ترى

« على الأقل » في تعداد

⚡ الانعكاس

احسب النقيض (« ولا واحد ») واطرح من المجموع.

مثال: على الأقل ورقة آص

= (5 52) - (5 48)

👁️ ترى

توزيع مع احترام قيود (أماكن محددة مسبقا)

⚡ الانعكاس

ضع أولا العناصر المقيدة، ثم عدّ بحرية الباقي بمبدأ الضرب.

مثال:

5

أشخاص في صف، صديقان معا :

4! \times 2! = 48

طريقة.

👁️ ترى

صيغة يُطلب إثباتها بالتوافيق (متطابقة)

⚡ الانعكاس

استعمل صيغة باسكال

(p n) = (p - 1 n - 1) + (p n - 1)

أو تعليلا توافقيا (عد مزدوج).

مثال:

(2 5) = (1 4) + (2 4) = 4 + 6 = 10

👁️ ترى

تعداد بـ « بالضبط

k

» من نوع معين

⚡ الانعكاس

اختر العناصر

k

المطلوبة ثم أكمل بالباقي : $(k a) (n - k b)$ .

مثال: سحب

3

كرات منها بالضبط

2

حمراء من بين

4

ح و

5

ز :

(2 4) (1 5) = 30

👁️ ترى

عدد أجزاء مجموعة / مجموع

(k n)

⚡ الانعكاس

عدد أجزاء مجموعة

E

ذات

n

عنصرا هو $2^{n} = k = 0 \sum n (k n)$ (صيغة ذات الحدين مع

1 + 1

مثال:

E

بـ

4

عناصر :

2^{4} = 16

جزءا.

👁️ ترى

تبديلات لحروف كلمة / كلمات بحروف متكررة

⚡ الانعكاس

استعمل التبديل مع التكرار

\frac{n !}{n _{1} ! n _{2} ! \dots}

حيث

n_{i}

عدد الحروف المتماثلة.

مثال: تبديلات « ELLE » :

\frac{4 !}{2 ! 2 !} = 6

حساب التكامل 9

👁️ ترى

\int

من جداء (كثير حدود

\times

e^{x}

ln

cos

…)

⚡ الانعكاس

المكاملة بالتجزيء.

مثال:

\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x = (x - 1) e^{x}

👁️ ترى

تكامل

\int u^{'} (x) g (u (x)) d x

⚡ الانعكاس

تعرّف على دالة أصلية مركبة (

\frac{u ^{'}}{u} \to ln ∣ u ∣

u^{'} e^{u} \to e^{u}

مثال:

\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = ln (x^{2} + 1)

👁️ ترى

المساحة بين منحنيين

⚡ الانعكاس

a \int b (f - g)

حيث

f ⩾ g

على

[a, b]

مثال:

0 \int 1 (x - x^{2}) d x = \frac{1}{6}

(بين

y = x

y = x^{2}

)

👁️ ترى

- a \int a

لدالة زوجية أو فردية

⚡ الانعكاس

فردية

\Rightarrow 0

؛ زوجية

\Rightarrow 2 0 \int a

مثال:

- 1 \int 1 x^{3} d x = 0

(فردية)

👁️ ترى

تكامل يحتوي

cos^{2} x

sin^{2} x

أو

sin x cos x

⚡ الانعكاس

خطّئ (التخطيط) قبل التكامل :

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

sin x cos x = \frac{sin 2 x}{2}

مثال:

0 \int π sin^{2} x d x = 0 \int π \frac{1 - cos 2 x}{2} d x = \frac{π}{2}

👁️ ترى

تكامل دالة كسرية (خارج كثيري حدود)

⚡ الانعكاس

حلّل إلى عناصر بسيطة ثم كامل حدا حدا (كل حد يعطي

ln

أو قوة).

مثال:

1 \int 2 \frac{d x}{x ( x + 1 )} = 1 \int 2 (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) d x = ln \frac{4}{3}

👁️ ترى

تكامل

a \int b ∣ f (x) ∣ d x

بقيمة مطلقة

⚡ الانعكاس

ادرس إشارة

f

على

[a, b]

وقسّم المجال حسب هذه الإشارة قبل التكامل.

مثال:

0 \int 2 ∣ x - 1∣ d x = 0 \int 1 (1 - x) d x + 1 \int 2 (x - 1) d x = 1

👁️ ترى

تأطير أو تحديد حد أعلى لتكامل دون حسابه

⚡ الانعكاس

استعمل تزايد/إيجابية التكامل : إذا كان

m \leq f \leq M

على

[a, b]

فإن

m (b - a) \leq a \int b f \leq M (b - a)

مثال: على

[0, 1]

\frac{1}{1 + x} \leq 1

إذن

0 \int 1 \frac{d x}{1 + x} \leq 1

👁️ ترى

متتالية

I_{n} = a \int b f_{n} (x) d x

معرفة بتكامل

⚡ الانعكاس

ادرس الرتابة والإشارة عبر مقارنة الدوال المكامَلة، وابحث عن علاقة ترجعية بالمكاملة بالتجزيء.

مثال:

I_{n} = 0 \int 1 x^{n} e^{x} d x

: المكاملة بالتجزيء

\Rightarrow I_{n} = e - n I_{n - 1}

الاحتمالات 8

👁️ ترى

الحدث « على الأقل واحد »

⚡ الانعكاس

مرّ عبر الحدث النقيض :

P (A) = 1 - P (\overset{ˉ}{A})

مثال:

P (على الأقل 6) = 1 - (\frac{5}{6})^{n}

👁️ ترى

سحوبات مع إرجاع (نجاح/فشل)

⚡ الانعكاس

القانون الثنائي

B (n, p)

مثال:

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

👁️ ترى

احتمال « علما أن »

⚡ الانعكاس

الاحتمال الشرطي

P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

مثال:

P (A \cap B) = 0, 2

P (B) = 0, 5

⇒

P_{B} (A) = 0, 4

👁️ ترى

منظومة أحداث أو سحب على مرحلتين (« ثم »)

⚡ الانعكاس

طبّق صيغة الاحتمالات الكلية :

P (B) = i \sum P (A_{i}) P (B ∣ A_{i})

مع

(A_{i})

منظومة كاملة.

مثال: إناءان متساويا الاحتمال :

P (أحمر) = \frac{1}{2} P (R ∣ U_{1}) + \frac{1}{2} P (R ∣ U_{2})

👁️ ترى

يُطلب الأمل الرياضي

E (X)

أو التباين

V (X)

لمتغير

⚡ الانعكاس

إذا كان

X

يتبع قانونا ثنائيا

B (n, p)

فإن

E (X) = n p

V (X) = n p (1 - p)

مثال:

X \sim B (10, 0, 3)

E (X) = 3

V (X) = 2, 1

👁️ ترى

كلمة « مستقلان » أو سحوبات متتالية مع إرجاع

⚡ الانعكاس

لأحداث مستقلة :

P (A \cap B) = P (A) \times P (B)

(وجداء لسلسلة تجارب).

مثال: نردان :

P (ستة مزدوجة) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}

👁️ ترى

سحب حيث كل الحالات متساوية الاحتمال

⚡ الانعكاس

فرضية تساوي الاحتمال :

P (A) = \frac{card ( A )}{card ( Ω )}

، نعدّ بالتوافيق.

مثال: سحب ورقتين من بين 32 :

card (Ω) = (2 32) = 496

👁️ ترى

نُعطى

P (B ∣ A)

ونبحث عن

P (A ∣ B)

(سبب/تشخيص)

⚡ الانعكاس

طبّق صيغة بايز :

P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) P ( B ∣ A )}{P ( B )}

مثال: اختبار :

P (M ∣ +) = \frac{P ( M ) P ( + ∣ M )}{P ( + )}

البنيات الجبرية 9

👁️ ترى

إثبات أن

(G, *)

زمرة

⚡ الانعكاس

تحقق من : التوافق الداخلي، التجميعية، العنصر المحايد، مماثل كل عنصر.

مثال:

(Z, +)

: المحايد

0

، مماثل

a

هو

- a

👁️ ترى

إثبات أن

(H, *)

زمرة جزئية

⚡ الانعكاس

بيّن

H \neq = \emptyset

(المحايد موجود فيها) والاستقرار :

\forall x, y \in H, x * y^{- 1} \in H

مثال:

2 Z

زمرة جزئية من

(Z, +)

👁️ ترى

إثبات أن

f

تشاكل

⚡ الانعكاس

تحقق من

f (x * y) = f (x) ⋆ f (y)

لكل

x, y

مثال:

ln : (R_{+}^{*}, \times) \to (R, +)

ln (x y) = ln x + ln y

👁️ ترى

إثبات أن

(A, +, \times)

حقل

⚡ الانعكاس

حلقة تبديلية حيث كل عنصر غير منعدم قابل للقلب.

مثال:

(Q, +, \times)

حقل ؛

(Z, +, \times)

ليس كذلك

👁️ ترى

إثبات أن

(A, +, \times)

حلقة

⚡ الانعكاس

تحقق من :

(A, +)

زمرة تبديلية،

\times

تجميعية وتوزيعية بالنسبة لـ

+

(حلقة واحدية : عنصر محايد

1

مثال:

(Z, +, \times)

حلقة تبديلية واحدية وحدتها

1

👁️ ترى

إثبات أن قانونا

*

تبديلي (زمرة تبديلية)

⚡ الانعكاس

أثبت

x * y = y * x

لكل

x, y

بالرجوع إلى تعريف $*$ واستغلال تبديلية العمليات الاعتيادية.

مثال:

x * y = x + y - 3

x * y = y + x - 3 = y * x

، إذن

*

تبديلي

👁️ ترى

إيجاد العنصر المحايد

e

ومماثل

x

⚡ الانعكاس

حل

x * e = x

للحصول على

e

، ثم

x * x^{'} = e

للحصول على

x^{'}

بدلالة

x

مثال:

x * y = x + y - 3

e = 3

؛ مماثل

x

x^{'} = 6 - x

👁️ ترى

إثبات أن

f : (G, *) \to (G^{'}, ⋆)

تشاكل تقابلي

⚡ الانعكاس

بيّن أن

f

تشاكل (

f (x * y) = f (x) ⋆ f (y)

) وتقابلية.

مثال:

ln : (R_{+}^{*}, \times) \to (R, +)

تشاكل تقابلي

👁️ ترى

دراسة حقنية تشاكل زمر

⚡ الانعكاس

التشاكل حقني

⟺

نواته مقتصرة على المحايد :

ker f = {e}

مثال:

f (x) = e^{x}

من

(R, +)

ker f = {0}

إذن

f

حقنية

الهندسة في الفضاء 9

👁️ ترى

تعامد (مستقيمات، أو مستقيم/مستو)

⚡ الانعكاس

احسب الجداء السلمي : ينعدم

⟺

متعامدان.

مثال:

u \cdot v = 0 ⟺ u ⊥ v

👁️ ترى

إيجاد معادلة مستو

⚡ الانعكاس

متجهة ناظمية

n = (a, b, c)

تعطي

a x + b y + cz + d = 0

؛ أوجد

d

بواسطة نقطة.

مثال:

n = (1, 2, - 1)

، يمر من

A (0, 0, 0)

x + 2 y - z = 0

👁️ ترى

مسافة نقطة عن مستو

(P) : a x + b y + cz + d = 0

⚡ الانعكاس

d (M, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

مثال:

M (1, 0, 0)

(P) : x = 0

d = \frac{∣1∣}{1} = 1

👁️ ترى

متجهة ناظمية لمستو / مساحة

⚡ الانعكاس

استعمل الجداء المتجهي

u \land v

مثال: مساحة المثلث

= \frac{1}{2} ∥ A B \land A C ∥

👁️ ترى

مستقيم معرف بنقطة

A

ومتجهة موجهة

u

⚡ الانعكاس

اكتب التمثيل البارامتري :

M (x, y, z)

مع

A M = t u

t \in R

مثال:

A (1, 0, 2)

u (1, - 1, 0)

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = - t z = 2

👁️ ترى

يُطلب معادلة سطح كرة مركزها

Ω

وشعاعها

R

⚡ الانعكاس

اكتب

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

؛ وعكسيا، حدد

Ω

R

بالكتابة على الشكل النظامي.

مثال:

Ω (1, 0, - 2)

R = 3

(x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 2)^{2} = 9

👁️ ترى

تقاطع مستو

(P)

وسطح كرة

(S)

⚡ الانعكاس

قارن

d = d (Ω, (P))

R

: إذا

d < R

دائرة شعاعها

r = R^{2} - d^{2}

d = R

نقطة (مماس) ؛

d > R

خالٍ.

مثال:

d = 2

R = 3

: دائرة شعاعها

r = 9 - 4 = 5

👁️ ترى

تقاطع مستقيم بارامتري ومستو

⚡ الانعكاس

عوّض الإحداثيات البارامترية للمستقيم في معادلة المستو وحل بدلالة

t

مثال: المستقيم

(t, t, t)

في

x + y + z = 3

3 t = 3 \Rightarrow t = 1

، النقطة

(1, 1, 1)

👁️ ترى

حساب حجم رباعي الوجوه

A B C D

⚡ الانعكاس

استعمل

V = \frac{1}{6} det (A B, A C, A D) = \frac{1}{6} (A B \land A C) \cdot A D

مثال:

V = \frac{1}{6} ∣ det ∣

؛ للمكعب الوحدوي

V = \frac{1}{6}

النهايات والاتصال 6

👁️ ترى

شكل غير محدد

\frac{0}{0}

مع كثير حدود

⚡ الانعكاس

تحليل البسط والمقام بالعامل

(x - a)

ثم التبسيط.

مثال:

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x \to 2 lim (x + 2) = 4

👁️ ترى

نهاية عند

\pm \infty

لدالة كسرية

⚡ الانعكاس

الاحتفاظ بحدّي الدرجة الأعلى في البسط والمقام.

مثال:

x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} + 1}{x ^{2} - x} = x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2}}{x ^{2}} = 3

👁️ ترى

خارج

\frac{k}{0}

مع

k \neq = 0

⚡ الانعكاس

دراسة إشارة المقام يمينا ويسارا: نهاية

\pm \infty

(مقارب عمودي).

مثال:

x \to 1^{+} lim \frac{1}{x - 1} = + \infty

👁️ ترى

وجود

يعطي

\infty - \infty

أو

\frac{0}{0}

⚡ الانعكاس

الضرب في المرافق لرفع عدم التعيين.

مثال:

x \to 0 lim \frac{x + 1 - 1}{x} = x \to 0 lim \frac{1}{x + 1 + 1} = \frac{1}{2}

👁️ ترى

يُطلب إثبات أن دالة متصلة عند

a

⚡ الانعكاس

التحقق من

x \to a lim f (x) = f (a)

(نهاية منتهية تساوي الصورة).

مثال:

f (x) = x^{2}

x \to 3 lim f (x) = 9 = f (3)

إذن متصلة عند

3

👁️ ترى

f

متصلة على

[a, b]

f (a) \cdot f (b) < 0

⚡ الانعكاس

مبرهنة القيم الوسيطية : المعادلة

f (x) = 0

تقبل حلا واحدا على الأقل في

] a, b [

مثال:

f (x) = x^{3} - 2

f (1) = - 1 < 0

f (2) = 6 > 0

إذن جذر في

] 1, 2 [

الاشتقاق ودراسة الدوال 6

👁️ ترى

يُطلب منحى تغير

f

⚡ الانعكاس

حساب $f^{'} (x)$ ودراسة إشارتها :

f^{'} > 0 \Rightarrow

تزايدية،

f^{'} < 0 \Rightarrow

تناقصية.

مثال:

f (x) = x^{2} - 4 x

f^{'} (x) = 2 x - 4 > 0 ⟺ x > 2

إذن تزايدية على

[2, + \infty [

👁️ ترى

مشتقة خارج قسمة

\frac{u}{v}

⚡ الانعكاس

تطبيق

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

مثال:

(\frac{x}{x + 1})^{'} = \frac{( x + 1 ) - x}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}

👁️ ترى

دالة مركّبة

u

u^{n}

, إلخ.

⚡ الانعكاس

الاشتقاق من الخارج إلى الداخل :

(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}

(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}

مثال:

(x^{2} + 1)^{'} = \frac{2 x}{2 x ^{2} + 1} = \frac{x}{x ^{2} + 1}

👁️ ترى

معادلة المماس عند

x = a

⚡ الانعكاس

استعمال

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

مثال:

f (x) = x^{2}

عند

a = 1

y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1

👁️ ترى

f^{'} (x)

تنعدم مع تغيّر الإشارة

⚡ الانعكاس

قيمة حدية محلية عند هذه النقطة (أعظمية إذا

+ \to -

، أصغرية إذا

- \to +

مثال:

f (x) = x^{2} - 4 x

f^{'}

تنتقل من

-

إلى

+

عند

2

: أصغرية

f (2) = - 4

👁️ ترى

x \to \pm \infty lim [f (x) - (a x + b)] = 0

⚡ الانعكاس

مقارب مائل معادلته

y = a x + b

مثال:

f (x) = x + \frac{1}{x}

f (x) - x = \frac{1}{x} \to 0

إذن

y = x

مقارب

الدوال اللوغاريتمية 6

👁️ ترى

وجود

ln

: مجال التعريف

⚡ الانعكاس

فرض أن المتغير $> 0$ :

ln (u)

موجودة إذا وفقط إذا

u > 0

مثال:

ln (x - 3)

معرفة من أجل

x - 3 > 0

، أي

x > 3

👁️ ترى

ln

لجداء أو خارج أو قوة

⚡ الانعكاس

الخصائص الجبرية :

ln (ab) = ln a + ln b

ln \frac{a}{b} = ln a - ln b

ln (a^{n}) = n ln a

مثال:

ln (2 e^{3}) = ln 2 + 3

👁️ ترى

معادلة من النوع

ln (u) = k

⚡ الانعكاس

المرور إلى الأسية :

u = e^{k}

(التحقق من

u > 0

مثال:

ln x = 2 ⟺ x = e^{2}

👁️ ترى

اشتقاق دالة تحتوي على

ln

⚡ الانعكاس

الصيغة

(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}

(وبالخصوص

(ln x)^{'} = \frac{1}{x}

مثال:

(ln (x^{2} + 1))^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}

👁️ ترى

نهاية تحتوي

ln

عند

0^{+}

أو عند

+ \infty

⚡ الانعكاس

النهايات المرجعية :

x \to 0^{+} lim ln x = - \infty

x \to + \infty lim ln x = + \infty

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0

مثال:

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0

(نمو مقارَن)

👁️ ترى

متراجحة

ln a < ln b

⚡ الانعكاس

$ln$ تزايدية قطعا :

ln a < ln b ⟺ 0 < a < b

مثال:

ln x < ln 5 ⟺ 0 < x < 5

الدوال الأسية 6

👁️ ترى

معادلة من النوع

e^{u} = k

مع

k > 0

⚡ الانعكاس

المرور إلى اللوغاريتم :

e^{u} = k ⟺ u = ln k

مثال:

e^{x} = 3 ⟺ x = ln 3

👁️ ترى

e^{a} \cdot e^{b}

أو

\frac{e ^{a}}{e ^{b}}

أو

(e^{a})^{n}

⚡ الانعكاس

قواعد الحساب :

e^{a} e^{b} = e^{a + b}

\frac{e ^{a}}{e ^{b}} = e^{a - b}

(e^{a})^{n} = e^{na}

مثال:

\frac{e ^{5}}{e ^{2}} = e^{3}

👁️ ترى

اشتقاق دالة تحتوي على

e^{u}

⚡ الانعكاس

الصيغة

(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}

(وبالخصوص

(e^{x})^{'} = e^{x}

مثال:

(e^{x^{2}})^{'} = 2 x e^{x^{2}}

👁️ ترى

نهاية تحتوي

e^{x}

عند

\pm \infty

⚡ الانعكاس

النهايات المرجعية :

x \to + \infty lim e^{x} = + \infty

x \to - \infty lim e^{x} = 0

x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty

مثال:

x \to - \infty lim e^{x} = 0

👁️ ترى

شكل غير محدد

\frac{0}{0}

مع

x \to 0 lim

⚡ الانعكاس

نهاية مرجعية :

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1

مثال:

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1

👁️ ترى

متراجحة

e^{a} < e^{b}

⚡ الانعكاس

الدالة الأسية تزايدية قطعا :

e^{a} < e^{b} ⟺ a < b

مثال:

e^{x} < e^{2} ⟺ x < 2

المتتاليات العددية 6

👁️ ترى

u_{n + 1} = u_{n} + r

(فرق ثابت)

⚡ الانعكاس

متتالية حسابية : الحد العام

u_{n} = u_{0} + n r

والمجموع

\sum = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}

مثال:

u_{0} = 2, r = 3 \Rightarrow u_{5} = 2 + 5 \times 3 = 17

👁️ ترى

u_{n + 1} = q u_{n}

(نسبة ثابتة)

⚡ الانعكاس

متتالية هندسية :

u_{n} = u_{0} q^{n}

والمجموع

u_{0} \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}

مثال:

u_{0} = 1, q = 2 \Rightarrow u_{4} = 2^{4} = 16

👁️ ترى

«بيّن أن

(v_{n})

هندسية» مع

v_{n} = u_{n} - a

⚡ الانعكاس

متتالية مساعدة : حساب

\frac{v _{n + 1}}{v _{n}}

لإيجاد

q

، ثم العودة إلى

u_{n} = v_{n} + a

مثال:

u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 1, v_{n} = u_{n} - 2 \Rightarrow v_{n + 1} = \frac{1}{2} v_{n}

👁️ ترى

حساب

lim u_{n}

مع

u_{n} = u_{0} q^{n}

⚡ الانعكاس

نهاية هندسية : إذا كان

∣ q ∣ < 1

فإن

lim q^{n} = 0

؛ إذا كان

q > 1

فإن

lim q^{n} = + \infty

مثال:

u_{n} = 3 \times (0, 5)^{n} \Rightarrow lim u_{n} = 0

👁️ ترى

«دراسة رتابة»

(u_{n})

⚡ الانعكاس

منحى التغير : دراسة إشارة

u_{n + 1} - u_{n}

؛ تزايدية إذا

\geq 0

، تناقصية إذا

\leq 0

مثال:

u_{n + 1} - u_{n} = 2 n + 1 > 0 \Rightarrow

تزايدية

👁️ ترى

متتالية معرفة بـ

u_{n + 1} = f (u_{n})

f

متصلة،

u_{n}

متقاربة

⚡ الانعكاس

النهاية نقطة صامدة : النهاية

ℓ

تحقق

ℓ = f (ℓ)

؛ حل هذه المعادلة.

مثال:

f (x) = x + 2 \Rightarrow ℓ = ℓ + 2 \Rightarrow ℓ = 2

حساب التكامل 6

👁️ ترى

a \int b f (x) d x

يُطلب حسابه

⚡ الانعكاس

دالة أصلية : إيجاد

F

بحيث

F^{'} = f

، ثم

a \int b f = F (b) - F (a)

مثال:

0 \int 1 x^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3}

👁️ ترى

\int \frac{u ^{'}}{u} d x

(البسط = مشتقة المقام)

⚡ الانعكاس

الشكل اللوغاريتمي : دالة أصلية هي

ln ∣ u ∣

مثال:

1 \int e \frac{1}{x} d x = [ln x]_{1}^{e} = 1

👁️ ترى

\int u^{'} e^{u} d x

⚡ الانعكاس

الشكل الأسي : دالة أصلية هي

e^{u}

مثال:

0 \int 1 2 x e^{x^{2}} d x = [e^{x^{2}}]_{0}^{1} = e - 1

👁️ ترى

\int x e^{x} d x

أو

\int x ln x d x

(جداء)

⚡ الانعكاس

المكاملة بالأجزاء :

\int u v^{'} = [uv] - \int u^{'} v

مثال:

0 \int 1 x e^{x} d x = [x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x = 1

👁️ ترى

«مساحة الحيز المحصور بين

C_{f}

ومحور الأفاصيل»

⚡ الانعكاس

المساحة : إذا كان

f \geq 0

على

[a, b]

، فإن المساحة

= a \int b f (x) d x

(بوحدة المساحة).

مثال: المساحة تحت

f (x) = x

على

[0, 2] = 0 \int 2 x d x = 2

👁️ ترى

«مساحة الحيز بين منحنيين»

C_{f}

C_{g}

⚡ الانعكاس

المساحة بين منحنيين :

a \int b ∣ f (x) - g (x) ∣ d x

(وضع الأكبر فوق).

مثال: بين

x

x^{2}

على

[0, 1] : 0 \int 1 (x - x^{2}) d x = \frac{1}{6}

الأعداد العقدية 6

👁️ ترى

حساب طويلة وعمدة

z = a + ib

⚡ الانعكاس

الشكل المثلثي :

∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}

cos θ = \frac{a}{∣ z ∣}

sin θ = \frac{b}{∣ z ∣}

مثال:

z = 1 + i \Rightarrow ∣ z ∣ = 2, θ = \frac{π}{4}

👁️ ترى

حل

a z^{2} + b z + c = 0

مع

Δ < 0

⚡ الانعكاس

معادلة من الدرجة الثانية : الجذران

z = \frac{- b \pm i ∣Δ∣}{2 a}

(مترافقان).

مثال:

z^{2} + 1 = 0 \Rightarrow z = \pm i

👁️ ترى

ضرب/قسمة عددين عقديين أو رفعهما لقوة

⚡ الانعكاس

الترميز $e^{i θ}$ : الطويلات تتضاعف، العمد تتجمع؛

(r e^{i θ})^{n} = r^{n} e^{in θ}

مثال:

(1 + i)^{2} = 2 e^{iπ /2} = 2 i

👁️ ترى

«طبيعة المثلث

A B C

» بواسطة اللواحق

⚡ الانعكاس

خارج اللواحق : حساب

\frac{c - a}{b - a}

؛ الطويلة

\to

الأطوال، العمدة

\to

الزاوية.

مثال:

\frac{c - a}{b - a} = i \Rightarrow

قائم متساوي الساقين عند

A

👁️ ترى

«مجموعة النقط

M (z)

بحيث

∣ z - z_{A} ∣ = r

⚡ الانعكاس

المحل الهندسي :

∣ z - z_{A} ∣ = r

هي الدائرة التي مركزها

A

ونصف قطرها

r

مثال:

∣ z - 2∣ = 3 \Rightarrow

دائرة مركزها

(2, 0)

، نصف قطرها

3

👁️ ترى

\overset{z}{ˉ}

، مرافق خارج قسمة

⚡ الانعكاس

المرافق : الضرب في الأعلى والأسفل بمرافق المقام للحصول على

a + ib

مثال:

\frac{1}{i} = \frac{- i}{i \cdot ( - i )} = - i

الهندسة في الفضاء 5

👁️ ترى

معادلة

a x + b y + cz + d = 0

لمستوى

⚡ الانعكاس

متجهة ناظمية : المتجهة

n (a, b, c)

ناظمية للمستوى.

مثال:

2 x - y + 3 z - 1 = 0 \Rightarrow n (2, - 1, 3)

👁️ ترى

الجداء السلمي لـ

u (x, y, z)

v (x^{'}, y^{'}, z^{'})

⚡ الانعكاس

الجداء السلمي :

u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}

؛ منعدم

\Leftrightarrow

متعامدان.

مثال:

(1, 0, 2) \cdot (2, 3, - 1) = 2 + 0 - 2 = 0

👁️ ترى

«مسافة النقطة

A

إلى المستوى

P

⚡ الانعكاس

مسافة نقطة-مستوى :

d = \frac{∣ a x _{A} + b y _{A} + c z _{A} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

مثال:

A (0, 0, 0), x + y + z - 3 = 0 \Rightarrow d = \frac{3}{3} = 3

👁️ ترى

«معادلة الفلكة التي مركزها

Ω

ونصف قطرها

R

⚡ الانعكاس

الفلكة :

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

مثال: المركز

(1, 0, 0), R = 2 : (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

👁️ ترى

تمثيل وسيطي لمستقيم يمر من

A

ومتجهته الموجهة

u

⚡ الانعكاس

المستقيم :

M = A + t u

، أي

⎩ ⎨ ⎧ x = x_{A} + t a y = y_{A} + t b z = z_{A} + t c

مثال:

A (1, 2, 0), u (1, 0, 1) : (1 + t, 2, t)

الاحتمالات 6

👁️ ترى

«سحب مع الإرجاع»، نجاح/فشل يتكرر

n

مرة

⚡ الانعكاس

القانون ذي الحدين

B (n, p)

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

مثال:

n = 3, p = \frac{1}{2} : P (X = 2) = (2 3) (\frac{1}{2})^{3} = \frac{3}{8}

👁️ ترى

«الأمل الرياضي / العدد المتوسط للنجاحات» لقانون ذي حدين

⚡ الانعكاس

الأمل الرياضي لقانون ذي الحدين :

E (X) = n p

(و

V (X) = n p (1 - p)

مثال:

n = 10, p = 0, 2 \Rightarrow E (X) = 10 \times 0, 2 = 2

👁️ ترى

P (A \cap B)

مع «علما أن» في النص

⚡ الانعكاس

احتمال شرطي :

P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

، إذن

P (A \cap B) = P (B) P_{B} (A)

مثال:

P (B) = 0, 5, P_{B} (A) = 0, 4 \Rightarrow P (A \cap B) = 0, 2

👁️ ترى

A

B

مستقلان»

⚡ الانعكاس

الاستقلالية :

P (A \cap B) = P (A) \times P (B)

مثال:

P (A) = 0, 3, P (B) = 0, 5 \Rightarrow P (A \cap B) = 0, 15

👁️ ترى

شجرة مرجحة أو تجزيء إلى حالات

B_{1}, B_{2}, \dots

⚡ الانعكاس

الاحتمالات التامة :

P (A) = i \sum P (B_{i}) P_{B_{i}} (A)

(مجموع الأغصان).

مثال:

0, 6 \times 0, 5 + 0, 4 \times 0, 1 = 0, 34

👁️ ترى

قانون احتمال معطى بجدول قيم

x_{i}

⚡ الانعكاس

الأمل الرياضي (الحالة العامة) :

E (X) = \sum x_{i} p_{i}

(التحقق من

\sum p_{i} = 1

مثال:

x : 0, 1

مع

p : 0, 4, 0, 6 \Rightarrow E (X) = 0, 6

تعميمات حول الدوال 6

👁️ ترى

« دراسة زوجية الدالة

f

⚡ الانعكاس

تحقّق أولاً من أن

D_{f}

متماثل بالنسبة لـ

0

، ثم قارن

f (- x)

بـ

f (x)

: زوجية إذا

f (- x) = f (x)

، فردية إذا

f (- x) = - f (x)

مثال:

f (x) = x^{2} - 3

f (- x) = (- x)^{2} - 3 = x^{2} - 3 = f (x)

، إذن

f

زوجية.

👁️ ترى

« مقارنة

f (a)

f (b)

» أو « منحى تغير »

⚡ الانعكاس

دراسة إشارة $f (b) - f (a)$ (أو النسبة

\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}

) على المجال.

مثال:

f (x) = 2 x + 1

f (b) - f (a) = 2 (b - a)

، إذا

a < b

فإن

f (a) < f (b)

f

تزايدية.

👁️ ترى

« تحديد مجموعة تعريف

D_{f}

⚡ الانعكاس

استبعاد المقام المنعدم والجذر السالب: وضع الشروط

المقام \neq = 0

ما تحت الجذر \geq 0

مثال:

f (x) = x - 2

x - 2 \geq 0

، إذن

D_{f} = [2; + \infty [

👁️ ترى

f

مكبورة / مصغورة / محدودة »

⚡ الانعكاس

تأطير $f (x)$ :

m \leq f (x)

(مصغورة بـ

m

)،

f (x) \leq M

(مكبورة بـ

M

)، الاثنان معاً

\Rightarrow

محدودة.

مثال:

f (x) = x^{2} + 1

x^{2} \geq 0

إذن

f (x) \geq 1

f

مصغورة بـ

1

👁️ ترى

« المنحنى

C_{g}

المستنتج من

C_{f}

⚡ الانعكاس

التعرّف على الانسحاب:

g (x) = f (x) + k

إزاحة عمودية،

g (x) = f (x - a)

إزاحة أفقية.

مثال:

g (x) = f (x) + 3

C_{g}

هو

C_{f}

منسحباً بـ

u = 3 j

نحو الأعلى.

👁️ ترى

« الدالة المركبة

g \circ f

⚡ الانعكاس

تطبيق $f$ ثم $g$ :

(g \circ f) (x) = g (f (x))

، مع احترام

f (x) \in D_{g}

مثال:

f (x) = x + 1

g (x) = x^{2}

(g \circ f) (x) = (x + 1)^{2}

المرجّحة في المستوى 6

👁️ ترى

« مرجّحة

(A, α)

(B, β)

⚡ الانعكاس

التحقق من $α + β \neq = 0$ ، ثم

G

مُعرَّفة بـ

α G A + β GB = 0

مثال:

G

مرجّحة

(A, 1), (B, 1)

G A + GB = 0

G

منتصف

[A B]

👁️ ترى

« موقع / إحداثيات

G

⚡ الانعكاس

استعمال الصيغة

A G = \frac{β}{α + β} A B

، أو

x_{G} = \frac{α x _{A} + β x _{B}}{α + β}

مثال:

(A, 2), (B, 1)

A (0; 0), B (3; 0)

x_{G} = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 3}{3} = 1

👁️ ترى

« اختزال

α M A + β M B

⚡ الانعكاس

إظهار $G$ :

α M A + β M B = (α + β) M G

لكل نقطة

M

مثال:

G

مرجّحة

(A, 1), (B, 1)

M A + M B = 2 M G

👁️ ترى

« مرجّحة ثلاث نقط »

⚡ الانعكاس

التجميعية: تجميع نقطتين في مرجّحتهما الجزئية، ثم إعادة الكرة (مجموع المعاملات

\neq = 0

مثال:

G

مرجّحة

(A, 1), (B, 1), (C, 1)

: مركز ثقل المثلث

A B C

👁️ ترى

« متساوية المرجّحة »

⚡ الانعكاس

كل المعاملات متساوية: متساوية المرجّحة

G

لـ

A, B, C

إحداثياتها هي المتوسط.

مثال:

A (0; 0), B (3; 0), C (0; 3)

G (\frac{0 + 3 + 0}{3}; \frac{0 + 0 + 3}{3}) = (1; 1)

👁️ ترى

« مجموعة النقط

M

بحيث ... متجهة ثابتة »

⚡ الانعكاس

الاختزال بالمرجّحة للحصول على

∥ M G ∥ = ثابت

(دائرة) أو اتجاه ثابت (مستقيم).

مثال:

∥ M A + M B ∥ = 4

مع

G

منتصف:

2∥ M G ∥ = 4

، دائرة مركزها

G

، شعاعها

2

الجداء السلمي في المستوى 6

👁️ ترى

u \cdot v

بالإحداثيات »

⚡ الانعكاس

الصيغة التحليلية: إذا

u (x; y)

v (x^{'}; y^{'})

فإن

u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}

مثال:

u (2; 3), v (1; - 1)

u \cdot v = 2 \cdot 1 + 3 \cdot (- 1) = - 1

👁️ ترى

u \cdot v

بزاوية »

⚡ الانعكاس

الصيغة بجيب التمام:

u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos (u, v)

مثال:

∥ u ∥ = 2, ∥ v ∥ = 3

، زاوية

6 0^{\circ}

u \cdot v = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3

👁️ ترى

« إثبات أن مستقيمين/متجهتين متعامدان »

⚡ الانعكاس

اختبار $u \cdot v = 0$ : جداء سلمي منعدم

\Leftrightarrow

تعامد.

مثال:

u (2; 1), v (- 1; 2)

2 \cdot (- 1) + 1 \cdot 2 = 0

، إذن

u ⊥ v

👁️ ترى

« حساب طول / معيار »

⚡ الانعكاس

المعيار:

∥ u ∥ = u \cdot u = x^{2} + y^{2}

مثال:

u (3; 4)

∥ u ∥ = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5

👁️ ترى

« معادلة دائرة قطرها

[A B]

⚡ الانعكاس

استعمال $M A \cdot M B = 0$ :

M

على الدائرة التي قطرها

[A B]

مثال:

A (0; 0), B (2; 0)

M A \cdot M B = x (x - 2) + y^{2} = 0

، أي

x^{2} - 2 x + y^{2} = 0

👁️ ترى

« حساب زاوية في مثلث »

⚡ الانعكاس

عزل $cos$ :

cos (A) = \frac{A B \cdot A C}{∥ A B ∥ ∥ A C ∥}

مثال:

A B (1; 0), A C (0; 1)

cos A = \frac{0}{1 \cdot 1} = 0

، إذن

A = 9 0^{\circ}

الحساب المثلثي 6

👁️ ترى

« تبسيط عبارة تحتوي

cos^{2} + sin^{2}

⚡ الانعكاس

المتطابقة الأساسية:

cos^{2} x + sin^{2} x = 1

مثال:

sin^{2} x + cos^{2} x + 3 = 1 + 3 = 4

👁️ ترى

« زاوية مرافقة:

- x

π - x

\frac{π}{2} - x

⚡ الانعكاس

تطبيق صيغ الزوايا المرافقة:

cos (- x) = cos x

sin (π - x) = sin x

cos (\frac{π}{2} - x) = sin x

مثال:

sin (π - x) = sin x

، إذن

sin \frac{5 π}{6} = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

👁️ ترى

cos (a + b)

أو

sin (a + b)

⚡ الانعكاس

صيغ الجمع:

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

مثال:

cos \frac{π}{2} = cos (\frac{π}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = 0

👁️ ترى

cos 2 x

أو

sin 2 x

⚡ الانعكاس

صيغ مضاعفة الزاوية:

sin 2 x = 2 sin x cos x

cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1

مثال:

x = \frac{π}{6}

sin \frac{π}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

👁️ ترى

« حل

cos x = a

⚡ الانعكاس

الحلول:

cos x = cos α \Leftrightarrow x = α + 2 k π

أو

x = - α + 2 k π

k \in Z

مثال:

cos x = \frac{1}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 k π

أو

x = - \frac{π}{3} + 2 k π

👁️ ترى

« حل

sin x = a

⚡ الانعكاس

الحلول:

sin x = sin α \Leftrightarrow x = α + 2 k π

أو

x = π - α + 2 k π

k \in Z

مثال:

sin x = \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 k π

أو

x = \frac{5 π}{6} + 2 k π

الدوران في المستوى 6

👁️ ترى

« دوران مركزه

O

وزاويته

θ

⚡ الانعكاس

التعريف:

M^{'} = r (M)

يحقق

O M^{'} = O M

(O M, O M^{'}) = θ

(مع

O^{'} = O

مثال: دوران مركزه

O

، زاويته

\frac{π}{2}

A (1; 0) \mapsto A^{'} (0; 1)

👁️ ترى

« الصورة تحافظ على المسافات »

⚡ الانعكاس

الدوران تقايس: إذا

A^{'} = r (A), B^{'} = r (B)

فإن

A^{'} B^{'} = A B

مثال:

A B = 5

r

دوران:

A^{'} B^{'} = 5

👁️ ترى

« دوران زاويته

π

⚡ الانعكاس

حالة خاصة: الدوران زاويته

π

ومركزه

O

هو التناظر المركزي مركزه

O

مثال: مركز

O (0; 0)

، زاوية

π

A (2; 3) \mapsto A^{'} (- 2; - 3)

👁️ ترى

« صورة مستقيم / دائرة »

⚡ الانعكاس

الحفاظ على الأشكال: صورة مستقيم مستقيم، وصورة دائرة دائرة بنفس الشعاع.

مثال: دائرة مركزها

I

، شعاعها

2

: الصورة = دائرة مركزها

r (I)

، شعاعها

2

👁️ ترى

« الزاوية الهندسية محفوظة »

⚡ الانعكاس

الدوران يحافظ على الزوايا (القياس والاتجاه): صورة مثلث مثلث بنفس الشكل.

مثال:

A B C = 4 0^{\circ}

: صورته

A^{'} B^{'} C^{'} = 4 0^{\circ}

👁️ ترى

« نقطة صامدة لدوران »

⚡ الانعكاس

المركز وحده صامد (إذا

θ \neq = 0

r (O) = O

وهي النقطة الصامدة الوحيدة.

مثال: دوران مركزه

O

، زاويته

\frac{π}{3}

r (O) = O

، لا نقطة صامدة أخرى.

المتتاليات العددية 6

👁️ ترى

u_{n + 1} = u_{n} + r

أو فرق ثابت

⚡ الانعكاس

متتالية حسابية: الحد العام

u_{n} = u_{0} + n r

والمجموع

S = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}

مثال:

u_{0} = 2, r = 3 \Rightarrow u_{4} = 2 + 4 \times 3 = 14

👁️ ترى

u_{n + 1} = q u_{n}

أو نسبة ثابتة

⚡ الانعكاس

متتالية هندسية:

u_{n} = u_{0} q^{n}

S = u_{0} \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}

إذا

q \neq = 1

مثال:

u_{0} = 3, q = 2 \Rightarrow u_{3} = 3 \times 2^{3} = 24

👁️ ترى

« إثبات أن

(u_{n})

تزايدية »

⚡ الانعكاس

دراسة إشارة

u_{n + 1} - u_{n}

: إذا

\geq 0

تزايدية، إذا

\leq 0

تناقصية.

مثال:

u_{n} = n^{2} : u_{n + 1} - u_{n} = 2 n + 1 > 0

إذن تزايدية

👁️ ترى

« هل

(u_{n})

مكبورة / مصغورة ؟ »

⚡ الانعكاس

البحث عن $M$ بحيث

u_{n} \leq M

(مكبورة) أو

m \leq u_{n}

(مصغورة) لكل

n

مثال:

u_{n} = \frac{n}{n + 1} < 1

إذن

(u_{n})

مكبورة بـ

1

👁️ ترى

خاصية « صحيحة لكل

n \in N

⚡ الانعكاس

الاستدلال بالترجع: تهيئة عند الرتبة

0

ثم وراثة

P (n) \Rightarrow P (n + 1)

مثال:

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

تُبرهن بالترجع

👁️ ترى

u_{n + 1} = a u_{n} + b

(ترجع تآلفي)

⚡ الانعكاس

حساب الحدود الأولى ثم التخمين؛ إدخال

v_{n} = u_{n} - ℓ

مع

ℓ = \frac{b}{1 - a}

(نقطة صامدة).

مثال:

u_{n + 1} = 2 u_{n} + 1, ℓ = - 1, v_{n} = u_{n} + 1

هندسية

نهايات دالة 6

👁️ ترى

\frac{0}{0}

مع كثيرات حدود عند

x \to a

⚡ الانعكاس

تحليل إلى جداء عوامل بـ

(x - a)

في البسط والمقام ثم التبسيط.

مثال:

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = lim (x + 2) = 4

👁️ ترى

\frac{\infty}{\infty}

مع كثيرات حدود عند

x \to \pm \infty

⚡ الانعكاس

وضع حد أعلى درجة كعامل مشترك في البسط والمقام.

مثال:

x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} + 1}{x ^{2} - 5} = \frac{3}{1} = 3

👁️ ترى

نهاية عن اليمين/اليسار عند نقطة ممنوعة،

\frac{k}{0}

⚡ الانعكاس

دراسة إشارة المقام من الجهتين: النهاية تساوي

\pm \infty

مثال:

x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty, x \to 0^{-} lim \frac{1}{x} = - \infty

👁️ ترى

تعطي

\infty - \infty

⚡ الانعكاس

الضرب في العبارة المرافقة لرفع الإبهام.

مثال:

x + 1 - x = \frac{1}{x + 1 + x} \to 0

👁️ ترى

نهاية محصورة:

g (x) \leq f (x) \leq h (x)

⚡ الانعكاس

مبرهنة التقارب المحصور: إذا كانت

g

h

لهما نفس النهاية

ℓ

، فإن

f \to ℓ

مثال:

- 1 \leq sin x \leq 1 \Rightarrow x \to + \infty lim \frac{sin x}{x} = 0

👁️ ترى

lim f (x) = \pm \infty

أو

lim f (x) = ℓ

عند

\infty

⚡ الانعكاس

التأويل بمقارب: عمودي (

x = a

) أو أفقي (

y = ℓ

مثال:

x \to + \infty lim \frac{1}{x} = 0

: مقارب

y = 0

الاشتقاق ودراسة الدوال 6

👁️ ترى

« العدد المشتق عند

a

» أو معدل التغير

⚡ الانعكاس

التعريف:

f^{'} (a) = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}

، المعامل الموجه للمماس.

مثال:

f (x) = x^{2} : f^{'} (3) = lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = 6

👁️ ترى

« معادلة المماس عند

a

⚡ الانعكاس

الصيغة:

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

مثال:

f (x) = x^{2}, a = 1 : y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1

👁️ ترى

مشتقة جداء أو خارج أو دالة مركبة

⚡ الانعكاس

تطبيق الصيغ:

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

مثال:

f (x) = x x : f^{'} (x) = \frac{3}{2} x

👁️ ترى

« منحى التغير » أو « جدول التغيرات »

⚡ الانعكاس

دراسة إشارة $f^{'} (x)$ :

f^{'} > 0

تزايدية،

f^{'} < 0

تناقصية.

مثال:

f (x) = x^{2}, f^{'} (x) = 2 x < 0

على

] - \infty, 0 [

: تناقصية

👁️ ترى

« قيمة حدية » / « قيمة عظمى أو صغرى »

⚡ الانعكاس

البحث عن حيث تنعدم $f^{'}$ مع تغيير الإشارة: قيمة حدية موضعية في تلك النقطة.

مثال:

f (x) = x^{2}, f^{'} (0) = 0

: قيمة صغرى عند

x = 0

f (0) = 0

👁️ ترى

f

تقبل حلاً للمعادلة

f (x) = k

⚡ الانعكاس

مبرهنة القيم الوسيطية: إذا كانت

f

متصلة ورتيبة و

k

محصورة بين الحدود، حل وحيد.

مثال:

f (x) = x^{3} - x - 1

متصلة،

f (1) < 0 < f (2)

: جذر وحيد على

] 1, 2 [

الترتيب والاحتمالات 6

👁️ ترى

« عدد الطرق » بمراحل متتالية

⚡ الانعكاس

مبدأ الضرب: ضرب عدد الاختيارات في كل مرحلة.

مثال:

3

مقبلات و

4

أطباق تعطي

3 \times 4 = 12

قائمة

👁️ ترى

سحب مرتب بدون تكرار (ترتيب)

⚡ الانعكاس

الترتيبات:

A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!}

مثال:

A_{5}^{2} = \frac{5 !}{3 !} = 20

منصة تتويج من

2

ضمن

5

👁️ ترى

سحب غير مرتب بدون تكرار (اختيار مجموعة)

⚡ الانعكاس

التوليفات:

(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}

مثال:

(2 5) = \frac{5 !}{2 ! 3 !} = 10

فريق من

2

ضمن

5

👁️ ترى

ترتيب

n

عنصراً مميزاً في صف (تبديل)

⚡ الانعكاس

التبديلات:

n!

ترتيب ممكن.

مثال:

4

كتب تُرتَّب بـ

4! = 24

طريقة

👁️ ترى

« احتمال » في وضعية تساوي الاحتمالات

⚡ الانعكاس

صيغة لابلاس:

p (A) = \frac{الحالات الملائمة}{الحالات الممكنة}

مثال: نرد:

p (زوجي) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

👁️ ترى

حدث « مضاد »، « على الأقل واحد »

⚡ الانعكاس

الانتقال إلى الحدث المتمم:

p (A) = 1 - p (\overset{ˉ}{A})

مثال:

p (وجه واحد على الأقل من 2) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

الهندسة في الفضاء 6

👁️ ترى

متجهات

u, v, w

و « مستوائية ؟ »

⚡ الانعكاس

الاستواء:

w = a u + b v

؛ ثلاث متجهات مستوائية إذا وُجد تركيب من هذا النوع.

مثال:

w = 2 u - v \Rightarrow

مستوائية

👁️ ترى

« معادلة ديكارتية لمستوى » ومتجهة ناظمية

⚡ الانعكاس

المستوى:

a x + b y + cz + d = 0

مع

n (a, b, c)

ناظمية للمستوى.

مثال:

n (1, 2, 3), A (0, 0, 0) : x + 2 y + 3 z = 0

👁️ ترى

« تمثيل وسيطي لمستقيم »

⚡ الانعكاس

مستقيم يمر من

A

ومتجهته

u

M = A + t u, t \in R

مثال:

A (1, 0, 2), u (1, 1, 0) : (x, y, z) = (1 + t, t, 2)

👁️ ترى

الجداء السلمي في الفضاء، « متعامد »

⚡ الانعكاس

التعامد:

u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'} = 0

مثال:

u (1, 2, - 1) \cdot v (2, - 1, 0) = 2 - 2 + 0 = 0

: متعامدان

👁️ ترى

« طول »، « مسافة بين نقطتين »

⚡ الانعكاس

المعيار:

A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}

مثال:

A (0, 0, 0), B (1, 2, 2) : A B = 1 + 4 + 4 = 3

👁️ ترى

« سطح كروي مركزه

Ω

وشعاعه

R

⚡ الانعكاس

معادلة السطح الكروي:

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

مثال:

Ω (1, 0, 0), R = 2 : (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

المتتاليات العددية 3

👁️ ترى

متتالية معرفة بـ

u_{n + 1} = u_{n} + r

مع

r

ثابت (أو

u_{n + 1} = q \times u_{n}

مع

q

ثابت)

⚡ الانعكاس

تمييز الحسابية عن الهندسية : إذا كنا دائماً نضيف نفس القيمة

r

، فهي حسابية (

u_{n} = u_{0} + n r

) ؛ وإذا كنا دائماً نضرب في نفس القيمة

q

، فهي هندسية (

u_{n} = u_{0} \times q^{n}

مثال:

u_{0} = 200, r = 50 \Rightarrow u_{5} = 200 + 5 \times 50 = 450

👁️ ترى

يُطلب منك تحديد هل المتتالية تزايدية أو تناقصية

⚡ الانعكاس

ادرس إشارة $u_{n + 1} - u_{n}$ (حسابية : إشارة

r

) أو قارن

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}

بـ

1

إذا كان

u_{n} > 0

(هندسية : موقع

q

بالنسبة لـ

1

مثال:

u_{n} = 1000 \times (1, 2)^{n}

u_{1} - u_{0} = 1200 - 1000 = 200 > 0

، متتالية تزايدية

👁️ ترى

متتالية هندسية أساسها

q

مع

- 1 < q < 1

⚡ الانعكاس

التقارب نحو 0 : إذا كان

∣ q ∣ < 1

، فإن

q^{n} \to 0

عندما

n \to + \infty

، ومنه

u_{n} = u_{0} \times q^{n} \to 0

مثال:

u_{n} = 5000 \times (0, 8)^{n}

0, 8^{n} \to 0

إذن

u_{n} \to 0

الإحصاء 3

👁️ ترى

جدول أعداد

(x_{i}, n_{i})

ويُطلب منك المتوسط الحسابي للسلسلة

⚡ الانعكاس

المتوسط المرجّح :

\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum n _{i} x _{i}}{\sum n _{i}}

مثال:

x : 5, 10, 15

مع

n : 4, 10, 6 \Rightarrow \overset{x}{ˉ} = \frac{20 + 100 + 90}{20} = 10, 5

👁️ ترى

يُطلب منك التباين أو الانحراف المعياري لسلسلة إحصائية

⚡ الانعكاس

التباين :

V = \frac{\sum n _{i} ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{\sum n _{i}}

، ثم الانحراف المعياري

σ = V

مثال:

x : 2, 4, 6

n : 1, 2, 1

\overset{x}{ˉ} = 4 \Rightarrow V = \frac{4 + 0 + 4}{4} = 2 \Rightarrow σ = 2

👁️ ترى

معطيات مجمّعة في فئات ويُطلب منك الوسيط

⚡ الانعكاس

الاستيفاء الخطي : حدّد الفئة الوسيطة (المجموع التراكمي

⩾ \frac{N}{2}

)، ثم

M_{e} = a + \frac{\frac{N}{2} - N _{c u m a v}}{n _{c l a sse}} \times (b - a)

مثال: الفئات

[0; 20 [, [20; 40 [, [40; 60 [

n : 10, 20, 10

N = 40 \Rightarrow M_{e} = 20 + \frac{20 - 10}{20} \times 20 = 30

الاشتقاق 3

👁️ ترى

« اشتقاق خارج قسمة »

f (x) = \frac{u ( x )}{v ( x )}

⚡ الانعكاس

خارج القسمة :

f^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

، لا تنسَ أبداً المربع في المقام.

مثال:

f (x) = \frac{2 x + 1}{x + 3} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{5}{( x + 3 ) ^{2}}

👁️ ترى

« معادلة المماس عند النقطة ذات الأفصول

a

⚡ الانعكاس

المماس :

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

مثال:

f (x) = x^{2} - 3 x, a = 2 : f^{'} (2) = 1, f (2) = - 2 \Rightarrow y = x - 4

👁️ ترى

« دراسة منحى التغير » انطلاقاً من إشارة

f^{'}

⚡ الانعكاس

إشارة f' :

f^{'} (x) > 0 \Rightarrow f

تزايدية،

f^{'} (x) < 0 \Rightarrow f

تناقصية.

مثال:

f (x) = x^{2} - 4 x + 3 : f^{'} (x) = 2 x - 4 < 0

على

] - \infty; 2 [

f

تناقصية

دراسة الدوال 3

👁️ ترى

يُطلب منك رسم جدول التغيرات للدالة

f

انطلاقاً من

f^{'} (x)

⚡ الانعكاس

إشارة $f^{'}$ : حل

f^{'} (x) = 0

، ادرس إشارة

f^{'}

على كل مجال، ثم

f^{'} > 0 \Rightarrow f

تزايدية،

f^{'} < 0 \Rightarrow f

تناقصية.

مثال:

f (x) = - x^{2} + 4 x + 1 : f^{'} (x) = - 2 x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2

f

تزايدية على

] - \infty; 2]

ثم تناقصية،

f (2) = 5

👁️ ترى

يُطلب منك إيجاد نهاية موضعية وتحديد نوعها

⚡ الانعكاس

النهاية الموضعية : حل

f^{'} (x) = 0

، ثم انظر هل تتغير إشارة

f^{'}

+ \to -

(أعظمية)،

- \to +

(أصغرية).

مثال:

g (x) = x^{3} - 3 x : g^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 0 \Rightarrow x = - 1

(

g^{'}

تنتقل من

+

إلى

-

)،

g (- 1) = 2

(أعظمية موضعية)

👁️ ترى

يُطلب منك تعظيم الربح

B (x)

⚡ الانعكاس

الاستمثال : احسب

B^{'} (x)

، أُلغِه، تحقّق من أن

B^{'}

تتغير إشارتها من

+

إلى

-

(أعظمية).

مثال:

B (x) = - 2 x^{2} + 80 x - 300 : B^{'} (x) = - 4 x + 80 = 0 \Rightarrow x = 20

B (20) = 500, 00

(أعظمية)

عموميات حول الدوال 3

👁️ ترى

f (x)

يحتوي في آن واحد على جذر ومقام

⚡ الانعكاس

مجال التعريف : اجمع بين الشرطين — الكمية تحت الجذر

\geq 0

والمقام

\neq = 0

— ثم خذ التقاطع.

مثال:

f (x) = \frac{x + 1}{x - 4} : D_{f} = [- 1; 4 [\cup] 4; + \infty [

👁️ ترى

« دراسة زوجية الدالة

f

» (دالة بأسس زوجية)

⚡ الانعكاس

الزوجية : تحقّق من أن

D_{f}

متماثل، ثم قارن

f (- x)

بـ

f (x)

: تساوٍ

\Rightarrow

زوجية.

مثال:

f (x) = 3 x^{2} - 5 : f (- x) = 3 x^{2} - 5 = f (x)

، إذن

f

زوجية

👁️ ترى

« مقارنة

f (x)

g (x)

» أو المواقع النسبية لمنحنيين

⚡ الانعكاس

إشارة الفرق : ادرس

f (x) - g (x)

؛ إذا كان موجباً، فإن

f

فوق

g

مثال:

f (x) = x^{2}, g (x) = x + 2 : f (x) - g (x) = (x - 2) (x + 1) > 0

من أجل

x = 3

مرجح نقط 3

👁️ ترى

مرجح

{(A, a), (B, b)}

في معلم

⚡ الانعكاس

إحداثيات المرجح :

x_{G} = \frac{a x _{A} + b x _{B}}{a + b}

(نفس الشيء بالنسبة لـ

y

مثال:

A (0, 0), B (6, 0), {(A, 2), (B, 1)} : x_{G} = \frac{0 + 6}{3} = 2

👁️ ترى

معاملات لها عامل مشترك في

{(A, a), (B, b)}

⚡ الانعكاس

التجانس : يمكن قسمة (أو ضرب) جميع المعاملات في نفس العدد غير المنعدم، ويبقى المرجح دون تغيير.

مثال:

{(A, 4), (B, 8)} = {(A, 1), (B, 2)} : x_{G} = \frac{x _{A} + 2 x _{B}}{3}

👁️ ترى

مرجح ثلاث نقط

{(A, a), (B, b), (C, c)}

يجب تبسيطه

⚡ الانعكاس

التجميعية : نعوّض نقطتين بمرجحهما الجزئي

I

المزوّد بمجموع معامليهما، ثم

G = bar {(I, a + b), (C, c)}

مثال:

A (0, 0), B (6, 0), C (0, 6), {(A, 1), (B, 1), (C, 1)} : I (3, 0) \Rightarrow G = bar {(I, 2), (C, 1)} = (2, 2)

الجداء السلمي في المستوى 3

👁️ ترى

« إثبات أن

(A B)

(A C)

متعامدان »

⚡ الانعكاس

التعامد : احسب

A B \cdot A C = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

وتحقّق من أنه منعدم.

مثال:

A B (3, 4), A C (4, - 3) : A B \cdot A C = 12 - 12 = 0

: متعامدان

👁️ ترى

« حساب معيار المتجهة

u

⚡ الانعكاس

المعيار : إذا كان

u (x, y)

فإن

∥ u ∥ = x^{2} + y^{2}

، نحصل عليه بواسطة

u \cdot u = ∥ u ∥^{2}

مثال:

u (3, 4) : ∥ u ∥ = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5

👁️ ترى

« حساب

B C

مع معرفة

A B

A C

والزاوية

A

⚡ الانعكاس

مبرهنة الكاشي : استعمل

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \times A B \times A C \times cos (A)

مثال:

A B = 5, A C = 7, A = 60° : B C^{2} = 25 + 49 - 2 (5) (7) (0, 5) = 39 \Rightarrow B C = 39

نهايات الدوال 3

👁️ ترى

نهاية عند

x \to a

تعطي

\frac{0}{0}

مع كثيرات حدود

⚡ الانعكاس

حلّل إلى عوامل بواسطة

(x - a)

في البسط والمقام، ثم بسّط.

مثال:

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x \to 3 lim (x + 3) = 6

👁️ ترى

نهاية عند

+ \infty

لـ خارج قسمة كثيرات حدود

⚡ الانعكاس

ضع حد الدرجة الأعلى كعامل مشترك في البسط والمقام، ثم بسّط.

مثال:

x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2} - 3 x}{5 x ^{2} + 1} = \frac{2}{5}

👁️ ترى

نهاية لا نهائية عند نقطة

a

(مقام ينعدم)

⚡ الانعكاس

مقارب عمودي : إذا كان

x \to a lim f (x) = \pm \infty

، فإن المستقيم

x = a

مقارب عمودي لمنحنى

f

مثال:

x \to 1^{+} lim \frac{1}{x - 1} = + \infty \Rightarrow x = 1

مقارب عمودي

حساب المثلثات 3

👁️ ترى

حل

cos x = \frac{1}{2}

على

[0; 2 π [

⚡ الانعكاس

معادلة جيب التمام : الحلول هي

x = α + 2 k π

x = - α + 2 k π

حيث

α

القيمة المرجعية، ثم نُرجع إلى المجال.

مثال:

cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{π}{3}

أو

x = 2 π - \frac{π}{3} = \frac{5 π}{3}

👁️ ترى

معطى

sin x = \frac{3}{5}

مع

x \in [\frac{π}{2}; π]

، إيجاد

cos x

⚡ الانعكاس

المتطابقة الأساسية : احسب

cos^{2} x = 1 - sin^{2} x

ثم اختر إشارة

cos x

حسب ربع الدائرة الذي ينتمي إليه

x

مثال:

cos^{2} x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \Rightarrow cos x = - \frac{4}{5}

(لأن

x

في الربع الثاني)

👁️ ترى

تبسيط

cos (π - x)

باستعمال الزوايا المرتبطة

⚡ الانعكاس

الزوايا المرتبطة :

π - x

هو نظير

x

بالنسبة لمحور الأراتيب، إذن نفس الجيب وجيب تمام معاكس.

مثال:

cos (π - \frac{π}{3}) = - cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}

الرياضيات المالية 3

👁️ ترى

قيمة مكتسبة بـفوائد بسيطة على مدة بالأشهر

⚡ الانعكاس

الفوائد البسيطة :

V = V_{0} (1 + i t)

مع

t

المدة بـالسنوات (الأشهر

/12

) ؛ الفائدة

I = V_{0} i t

ثابتة في كل فترة.

مثال:

V_{0} = 8000, i = 0, 06, t = \frac{8}{12} : V = 8000 (1 + 0, 06 \times \frac{8}{12}) = 8320

👁️ ترى

« قيمة مكتسبة » بـفوائد مركبة على

n

فترة

⚡ الانعكاس

الرسملة :

V_{n} = V_{0} (1 + i)^{n}

، تُضاف الفائدة إلى رأس المال في كل فترة (نمو أسي، وليس خطياً).

مثال:

V_{0} = 10000, i = 0, 05, n = 3 : V_{3} = 10000 \times 1, 0 5^{3} = 11576, 25

👁️ ترى

معدل شهري مكافئ لمعدل سنوي معطى

⚡ الانعكاس

المعدلات المتكافئة :

(1 + i_{m})^{12} = 1 + i_{a}

إذن

i_{m} = (1 + i_{a})^{1/12} - 1

(لا تقسم

i_{a}

على

12

، فذلك يعطي المعدل النسبي).

مثال:

i_{a} = 0, 12 : i_{m} = 1, 1 2^{1/12} - 1 \approx 0, 0095

الرياضيات المالية 3

👁️ ترى

«القيمة الحالية» لسلسلة من الأقساط السنوية الثابتة

a

على مدى

n

فترة

⚡ الانعكاس

الخصم :

V_{0} = a \times \frac{1 - ( 1 + i ) ^{- n}}{i}

مثال:

a = 10000, i = 0, 05, n = 5 : V_{0} = 10000 \times \frac{1 - 1 , 0 5 ^{- 5}}{0 , 05} \approx 43294, 77

👁️ ترى

«القيمة المكتسبة» لسلسلة من الأقساط السنوية الثابتة

a

في تاريخ آخر دفعة

⚡ الانعكاس

الرسملة :

V_{n} = a \times \frac{( 1 + i ) ^{n} - 1}{i}

مثال:

a = 10000, i = 0, 05, n = 5 : V_{n} = 10000 \times \frac{1 , 0 5 ^{5} - 1}{0 , 05} \approx 55256, 31

👁️ ترى

قرض

C

يُسدَّد بواسطة

n

قسطًا سنويًا ثابتًا

a

بمعدل

i

⚡ الانعكاس

قسط القرض : رأس المال المقترَض هو القيمة الحالية للأقساط، إذن

a = C \times \frac{i}{1 - ( 1 + i ) ^{- n}}

مثال:

C = 100000, i = 0, 06, n = 8 : a = 100000 \times \frac{0 , 06}{1 - 1 , 0 6 ^{- 8}} \approx 16103, 59

الاحتمالات 3

👁️ ترى

n

تكرارًا مستقلًا لتجربة ذات نتيجتين (نجاح/فشل) باحتمال

p

⚡ الانعكاس

القانون ثنائي الحد

B (n, p)

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

مثال:

n = 5, p = 0, 4, k = 3 : P (X = 3) = (3 5) \times 0, 4^{3} \times 0, 6^{2} = 0, 2304

👁️ ترى

حدث من نوع «على الأقل واحد» من النجاحات ضمن عدة تكرارات مستقلة

⚡ الانعكاس

الحدث المضاد : المرور عبر

P (على الأقل واحد) = 1 - P (لا شيء)

، أسهل في الحساب.

مثال:

p (فشل) = 0, 3، 3 سحوبات : P (على الأقل نجاح واحد) = 1 - 0, 3^{3} = 0, 973

👁️ ترى

وضعية ذات مراحل متتالية تُوصَف بواسطة شجرة مرجَّحة

⚡ الانعكاس

الشجرة المرجَّحة : نضرب الاحتمالات على طول المسار للحصول على

P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)

مثال:

P (A) = 0, 6، P_{A} (B) = 0, 5 : P (A \cap B) = 0, 6 \times 0, 5 = 0, 3

المتتاليات العددية 3

👁️ ترى

متتالية

u_{n + 1} = a u_{n} + b

حيث

a \neq = 1

(ليست حسابية ولا هندسية بحتة)، نمطية في نموذج اقتصادي

⚡ الانعكاس

المتتالية المساعدة : نبحث عن النقطة الصامدة

ℓ = a ℓ + b

، نضع

v_{n} = u_{n} - ℓ

(v_{n})

هندسية أساسها

a

، مما يعطي

u_{n}

بدلالة

n

مثال:

u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 3

: النقطة الصامدة

ℓ = 6

v_{n} = u_{n} - 6

هندسية أساسها

0, 5

👁️ ترى

يجب التعبير عن

u_{n}

بدلالة

n

انطلاقًا من المتتالية الهندسية المساعدة

v_{n} = u_{n} - ℓ

⚡ الانعكاس

الصيغة الصريحة : نكتب

v_{n} = v_{0} \times a^{n}

ثم نعود إلى

u_{n} = v_{n} + ℓ = v_{0} \times a^{n} + ℓ

، حيث

v_{0} = u_{0} - ℓ

مثال:

u_{0} = 10

ℓ = 6

a = 0, 5

إذن

v_{0} = 4

u_{n} = 4 \times (0, 5)^{n} + 6

👁️ ترى

متتالية

(u_{n})

تُمثِّل تطورًا اقتصاديًا (رأسمال، إنتاج، عدد سكان) ويُطلب نهايتها

⚡ الانعكاس

النهاية عبر النقطة الصامدة : إذا كانت

u_{n} = v_{0} \times a^{n} + ℓ

حيث

- 1 < a < 1

، فإن

a^{n} \to 0

إذن

u_{n} \to ℓ

: المقدار الاقتصادي يستقر حول النقطة الصامدة.

مثال:

u_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 200

(إنتاج سنوي) :

ℓ = 1000

0 < 0, 8 < 1

إذن

n \to + \infty lim u_{n} = 1000

الدالة الأسية 3

👁️ ترى

اشتقاق

e^{u (x)}

حيث

u

ليست

x

فقط

⚡ الانعكاس

مشتقة دالة مركبة :

(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}

، لا تنسَ أبدًا

u^{'}

مثال:

f (x) = e^{3 x - 1} : f^{'} (x) = 3 e^{3 x - 1}

👁️ ترى

حل معادلة أسية

e^{u (x)} = k

⚡ الانعكاس

الانتقال إلى اللوغاريتم : إذا كان

k > 0

e^{u} = k ⟺ u = ln k

(وإلا فلا حل).

مثال:

e^{2 x} = 5 ⟺ x = \frac{ln 5}{2}

👁️ ترى

نهاية تتضمن

e^{x}

تؤدي إلى شكل غير محدد

\infty \times 0

⚡ الانعكاس

النمو المقارَن : الدالة الأسية تتفوق دائمًا على قوى

x

عند

+ \infty

مثال:

x \to + \infty lim x e^{- x} = 0

الاشتقاق ودراسة الدوال الاقتصادية 3

👁️ ترى

يُطلب منك التكلفة الحدية

C m (x)

⚡ الانعكاس

التكلفة الحدية = مشتقة التكلفة الكلية :

C m (x) = C^{'} (x)

(تختلف عن التكلفة المتوسطة

C (x) / x

مثال:

C (x) = x^{2} + 20 x + 100 : C m (x) = C^{'} (x) = 2 x + 20

، إذن

C m (5) = 30

👁️ ترى

يُطلب منك عتبة المردودية لمقاولة

⚡ الانعكاس

عتبة المردودية : نحل

B (x) = 0

حيث

B (x) = R (x) - C (x)

؛ الحلول هي الكميات التي لا تربح فيها المقاولة ولا تخسر.

مثال:

B (x) = - x^{2} + 40 x - 300 = 0 \Rightarrow x = 10

أو

x = 30

👁️ ترى

يُطلب منك الكمية التي تُعظِّم الربح

B (x)

⚡ الانعكاس

الربح الأقصى : نحسب

B (x) = R (x) - C (x)

، نحل

B^{'} (x) = 0

، ثم نتحقق من إشارة

B^{'}

لتأكيد وجود أقصى.

مثال:

B (x) = - x^{2} + 40 x - 100 : B^{'} (x) = - 2 x + 40 = 0 \Rightarrow x = 20

B (20) = 300

التكامل والدوال الأصلية 3

👁️ ترى

إيجاد دالة أصلية لـ

e^{a x + b}

⚡ الانعكاس

القسمة على $a$ : دالة أصلية لـ

e^{a x + b}

هي

\frac{1}{a} e^{a x + b}

(نتحقق بالاشتقاق : نجد فعلًا

a \times \frac{1}{a} = 1

مثال: دالة أصلية لـ

e^{2 x + 1}

F (x) = \frac{1}{2} e^{2 x + 1}

لأن

F^{'} (x) = \frac{1}{2} \times 2 \times e^{2 x + 1} = e^{2 x + 1}

👁️ ترى

حساب مساحة بين منحنى ومحور الأفاصيل

⚡ الانعكاس

التحقق من إشارة $f$ أولًا : إذا كانت

f \geq 0

، المساحة

= a \int b f

؛ وإلا المساحة

= - a \int b f

(المساحة موجبة دائمًا).

مثال:

f (x) = x - 1

على

[0, 2]

(تغيّر الإشارة عند

1

) : المساحة

= 0 \int 1 (1 - x) d x + 1 \int 2 (x - 1) d x = 0, 5 + 0, 5 = 1

👁️ ترى

حساب تكامل محدد

a \int b f (x) d x

⚡ الانعكاس

إيجاد دالة أصلية $F$ لـ

f

، ثم حساب

F (b) - F (a)

(المبرهنة الأساسية للتكامل).

مثال:

0 \int 2 (3 x^{2} + 1) d x = [x^{3} + x]_{0}^{2} = (8 + 2) - 0 = 10

النهايات والاتصال 3

👁️ ترى

x \to + \infty lim f (x) = ℓ

(نهاية منتهية عند

+ \infty

أو

- \infty

)

⚡ الانعكاس

مقارب أفقي : المستقيم

y = ℓ

مقارب لمنحنى

f

بجوار اللانهاية المعتبرة.

مثال:

x \to + \infty lim \frac{3 x - 1}{x} = 3 \Rightarrow y = 3

مقارب أفقي

👁️ ترى

x \to a lim f (x) = \pm \infty

(نهاية لا منتهية عند نقطة منتهية)

⚡ الانعكاس

مقارب عمودي : المستقيم

x = a

مقارب لمنحنى

f

مثال:

x \to 2 lim \frac{1}{x - 2} = \pm \infty \Rightarrow x = 2

مقارب عمودي

👁️ ترى

f

متصلة على

[a; b]

k

محصور بين

f (a)

f (b)

⚡ الانعكاس

مبرهنة القيم الوسيطية : المعادلة

f (x) = k

تقبل حلًا واحدًا على الأقل في

[a; b]

مثال:

f

متصلة على

[0; 2]

f (0) = - 1

f (2) = 5 \Rightarrow f (x) = 0

لها حل في

] 0; 2 [

الدالة اللوغاريتمية 3

👁️ ترى

اشتقاق

ln (u (x))

⚡ الانعكاس

مشتقة دالة مركبة :

(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}

، وليس

\frac{1}{u}

وحدها أبدًا.

مثال:

f (x) = ln (x^{2} + 4) : f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 4}

👁️ ترى

معادلة بها

ln

في الطرفين

⚡ الانعكاس

شرط الوجود أولًا : نضع كل الحجج

> 0

قبل تبسيط

ln

، ثم نتحقق من الحلول.

مثال:

ln (x + 3) = ln (2 x - 1) ، x > \frac{1}{2} \Rightarrow x = 4

👁️ ترى

معادلة في

(ln x)^{2}

⚡ الانعكاس

تغيير المتغير : نضع

X = ln x

(مع

x > 0

) للحصول على معادلة من الدرجة الثانية في

X

مثال:

(ln x)^{2} - ln x - 2 = 0 \Rightarrow x = e^{2}

أو

x = e^{- 1}

الجداء السلمي في المستوى 3

👁️ ترى

« احسب

u \cdot v

» مع

u (x, y)

v (x^{'}, y^{'})

معطيين بـإحداثياتهما

⚡ الانعكاس

الجداء السلمي بالإحداثيات :

u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}

، نضرب الأفاصيل فيما بينها، والأراتيب فيما بينها، ثم نجمع.

مثال:

u (2, 5), v (3, - 1) : u \cdot v = 2 \times 3 + 5 \times (- 1) = 1

👁️ ترى

« بيّن أن

(A B)

(A C)

متعامدان » أو أن متجهتين متعامدتان

⚡ الانعكاس

اختبار التعامد : نحسب

A B \cdot A C = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

؛ فإذا كانت النتيجة معدومة، فالمتجهتان متعامدتان.

مثال:

A B (6, 2), A C (- 1, 3) : A B \cdot A C = - 6 + 6 = 0

: متعامدتان

👁️ ترى

« احسب

B C

مع معرفة

A B

A C

والزاوية

A

» في مثلث

⚡ الانعكاس

مبرهنة الكاشي :

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \times A B \times A C \times cos (A)

، ثم نأخذ الجذر التربيعي.

مثال:

A B = 8, A C = 5, A = 60° : B C^{2} = 64 + 25 - 2 (8) (5) (0, 5) = 49 \Rightarrow B C = 7

معمّمات حول الدوال 3

👁️ ترى

دالة تحتوي مقامًا يمكن أن ينعدم

⚡ الانعكاس

مجال التعريف : نستثني القيم التي تُلغي المقام.

مثال:

f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3} : D_{f} = R ∖ {3}

👁️ ترى

يُطلب منك دراسة زوجية دالة

⚡ الانعكاس

الزوجية : تحقق أن

D_{f}

متماثل بالنسبة لـ

0

، ثم احسب

f (- x)

وقارنها بـ

f (x)

- f (x)

مثال:

f (x) = x^{2} - 3 : f (- x) = x^{2} - 3 = f (x)

، إذن

f

زوجية

👁️ ترى

قارن بين دالتين

f

g

على مجال ما

⚡ الانعكاس

إشارة الفرق : ادرس إشارة

f (x) - g (x)

على المجال المعطى.

مثال:

f (x) = x^{2}, g (x) = x : f (x) - g (x) = x (x - 1) ⩽ 0

على

[0; 1]

، إذن

f ⩽ g

الحساب المتجهي في الفضاء 3

👁️ ترى

« احسب إحداثيات المتجهة

A B

⚡ الانعكاس

إحداثيات متجهة : نطرح إحداثيات

A

من إحداثيات

B

، حدًا بحد.

مثال:

A (1, 2, 3), B (4, - 1, 5) : A B (3, - 3, 2)

👁️ ترى

« بيّن أن

u

v

متوازيتان »

⚡ الانعكاس

التوازي : نتحقق من وجود عدد حقيقي

k

بحيث

u = k v

(إحداثيات متناسبة).

مثال:

u (2, - 4, 6), v (- 1, 2, - 3) : u = - 2 v

، متوازيتان

👁️ ترى

« حدد إحداثيات منتصف

I

للقطعة

[A B]

⚡ الانعكاس

منتصف قطعة : نأخذ نصف مجموع إحداثيات

A

B

، إحداثية بإحداثية.

مثال:

A (3, - 2, 5), B (- 1, 4, 1) : I (1, 1, 3)

دراسة الدوال 3

👁️ ترى

يُطلب منك وضع جدول تغيرات

f

انطلاقًا من

f^{'} (x)

⚡ الانعكاس

إشارة $f^{'}$ : حل

f^{'} (x) = 0

، ادرس إشارة

f^{'}

على كل مجال، ثم

f^{'} > 0 \Rightarrow f

تزايدية،

f^{'} < 0 \Rightarrow f

تناقصية.

مثال:

f (x) = - 3 x^{2} + 6 x - 1 : f^{'} (x) = - 6 x + 6 = 0 \Rightarrow x = 1

f

تتزايد على

] - \infty; 1]

ثم تتناقص،

f (1) = 2

👁️ ترى

يُطلب منك إيجاد حدًا محليًا وتحديد نوعه

⚡ الانعكاس

الحد المحلي : حل

f^{'} (x) = 0

، لاحظ إن كانت

f^{'}

تغيّر إشارتها :

+ \to -

(حد أقصى)،

- \to +

(حد أدنى).

مثال:

g (x) = x^{3} - 3 x : g^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 0 \Rightarrow x = - 1

(حد أقصى محلي،

g (- 1) = 2

)

👁️ ترى

نهاية منتهية

x \to + \infty lim f (x) = ℓ

⚡ الانعكاس

مقارب أفقي : إذا كانت

f (x) \to ℓ

عندما

x \to \pm \infty

، فإن المستقيم

y = ℓ

مقارب لمنحنى

f

مثال:

h (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3} : x \to + \infty lim h (x) = 2 \Rightarrow y = 2

مقارب أفقي

حساب المثلثات 3

👁️ ترى

حل

cos x = \frac{2}{2}

على

[0; 2 π [

⚡ الانعكاس

معادلة جيب التمام : الحلول هي

x = α + 2 k π

x = - α + 2 k π

حيث

α

هي القيمة المرجعية المرافقة.

مثال:

cos x = \frac{2}{2} \Rightarrow x = \frac{π}{4}

أو

x = \frac{7 π}{4}

👁️ ترى

بمعرفة

sin x

، إيجاد $cos x$ على مجال معطى

⚡ الانعكاس

المتطابقة الأساسية : استعمل

cos^{2} x + sin^{2} x = 1

، ثم اختر إشارة

cos x

حسب ربع

x

مثال:

sin x = \frac{3}{5}, x \in [0; \frac{π}{2}] \Rightarrow cos x = \frac{4}{5}

👁️ ترى

احسب

cos (π - x)

أو

sin (π + x)

: زوايا مرافقة

⚡ الانعكاس

الزوايا المرافقة : أرجع الزاوية إلى زاوية مرجعية باستعمال العلاقات

cos (π - x) = - cos x

sin (π + x) = - sin x

cos (- x) = cos x

مثال:

cos (\frac{2 π}{3}) = - cos (\frac{π}{3}) = - \frac{1}{2}

مرجّح مجموعة نقط 3

👁️ ترى

مرجّح

{(A, a), (B, b)}

في معلم

⚡ الانعكاس

إحداثيات المرجّح :

x_{G} = \frac{a x _{A} + b x _{B}}{a + b}

(وكذلك بالنسبة لـ

y

مثال:

A (1, 2), B (7, - 4), {(A, 2), (B, 1)} : x_{G} = \frac{2 + 7}{3} = 3, y_{G} = \frac{4 - 4}{3} = 0

👁️ ترى

معاملات لها عامل مشترك في

{(A, a), (B, b)}

⚡ الانعكاس

التجانس : يمكن قسمة (أو ضرب) جميع المعاملات في عدد واحد غير معدوم، ويبقى المرجّح دون تغيير.

مثال:

{(A, 3), (B, 6)} = {(A, 1), (B, 2)} : x_{G} = \frac{x _{A} + 2 x _{B}}{3}

👁️ ترى

مرجّح ثلاث نقط

{(A, a), (B, b), (C, c)}

يجب تبسيطه

⚡ الانعكاس

التجميعية : نستبدل نقطتين بمرجّحهما الجزئي

I

المرفق بمجموع معامليهما، ثم

G = bar {(I, a + b), (C, c)}

مثال:

A (0, 0), B (4, 0), C (2, 6), {(A, 1), (B, 1), (C, 1)} : I (2, 0) \Rightarrow G = bar {(I, 2), (C, 1)} = (2, 2)

المتتاليات العددية 3

👁️ ترى

متتالية يُحصَل فيها على كل حد بإضافة أو بضرب عدد ثابت في الحد السابق

⚡ الانعكاس

التمييز بين حسابية / هندسية : احسب

u_{1} - u_{0}

u_{2} - u_{1}

(ثابت

\Rightarrow

حسابية) ثم

\frac{u _{1}}{u _{0}}

\frac{u _{2}}{u _{1}}

(ثابت

\Rightarrow

هندسية).

مثال:

u_{0} = 2, u_{1} = 7, u_{2} = 12 \Rightarrow u_{1} - u_{0} = u_{2} - u_{1} = 5

(حسابية)

👁️ ترى

يُطلب مجموع الحدود الأولى $n$ لمتتالية حسابية

⚡ الانعكاس

مجموع حسابي :

S = \frac{عدد الحدود \times ( الحد الأول + الحد الأخير )}{2}

مثال:

u_{0} = 1, r = 2 \Rightarrow u_{0} + u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} = \frac{5 \times ( 1 + 9 )}{2} = 25

👁️ ترى

يُطلب معرفة إن كانت متتالية تزايدية أو تناقصية

⚡ الانعكاس

دراسة إشارة $u_{n + 1} - u_{n}$ : إذا كان

u_{n + 1} - u_{n} > 0

لكل

n

، فالمتتالية تزايدية ؛ وإذا كان

u_{n + 1} - u_{n} < 0

، فهي تناقصية.

مثال:

u_{n} = n^{2} \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = 2 n + 1 > 0

إذن

(u_{n})

تزايدية

الاشتقاق 3

👁️ ترى

« اشتق خارج قسمة دالتين »

⚡ الانعكاس

خارج القسمة :

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

مثال:

f (x) = \frac{x}{x + 1} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}, f^{'} (0) = 1

👁️ ترى

« معادلة المماس عند النقطة ذات الأفصول

a

⚡ الانعكاس

المماس :

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

مثال:

f (x) = x^{2}, a = 1 : f^{'} (1) = 2, f (1) = 1 \Rightarrow y = 2 x - 1

👁️ ترى

« ادرس إشارة $f^{'}$ لأجل التغيرات »

⚡ الانعكاس

التغيرات :

f^{'} (x) > 0 \Rightarrow f

تزايدية ؛

f^{'} (x) < 0 \Rightarrow f

تناقصية.

مثال:

f (x) = x^{2} - 4 x + 3 \Rightarrow f^{'} (x) = 2 x - 4, f^{'} (x) = 0 عند x = 2

نهايات الدوال 3

👁️ ترى

نهاية عند

x \to a

تعطي

\frac{0}{0}

بمقادير كثيرات حدود

⚡ الانعكاس

حلّل البسط والمقام بـ

(x - a)

، ثم بسّط قبل التعويض.

مثال:

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x \to 3 lim (x + 3) = 6

👁️ ترى

نهاية عند

+ \infty

لـخارج كثيري حدود

⚡ الانعكاس

العامل المهيمن : ضع في الأمام الحد ذا الدرجة الأعلى في البسط والمقام، ثم بسّط.

مثال:

x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2} + x}{x ^{2} - 1} = x \to + \infty lim \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x ^{2}}} = 2

👁️ ترى

دالة ينعدم مقامها عند

x = a

دون أن ينعدم البسط

⚡ الانعكاس

مقارب عمودي : النهاية عند

a

لا نهائية، إذن المستقيم

x = a

مقارب عمودي للمنحنى.

مثال:

x \to 1^{+} lim \frac{1}{x - 1} = + \infty

، إذن

x = 1

مقارب عمودي

الإحصاء 3

👁️ ترى

جدول أعداد

(x_{i}, n_{i})

ويُطلب منك المتوسط الحسابي للسلسلة

⚡ الانعكاس

المتوسط المرجّح :

\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum n _{i} x _{i}}{\sum n _{i}}

مثال:

x : 3, 6, 9

مع

n : 5, 3, 2 \Rightarrow \overset{x}{ˉ} = \frac{15 + 18 + 18}{10} = 5, 1

👁️ ترى

يُطلب منك التباين أو الانحراف المعياري لسلسلة إحصائية

⚡ الانعكاس

التباين :

V = \frac{\sum n _{i} ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{\sum n _{i}}

، ثم الانحراف المعياري

σ = V

مثال:

x : 1, 3, 5

n : 2, 4, 2

\overset{x}{ˉ} = 3 \Rightarrow V = \frac{8 + 0 + 8}{8} = 2 \Rightarrow σ = 2

👁️ ترى

معطيات مجمّعة في فئات ويُطلب منك الوسيط

⚡ الانعكاس

الاستيفاء الخطي : حدد الفئة الوسيطية (الأعداد المتجمعة

⩾ \frac{N}{2}

)، ثم

M_{e} = a + \frac{\frac{N}{2} - N _{c u m a v}}{n _{c l a sse}} \times (b - a)

مثال: الفئات

[0; 10 [, [10; 20 [, [20; 30 [

n : 8, 12, 10

N = 30 \Rightarrow M_{e} = 10 + \frac{15 - 8}{12} \times 10 \approx 15, 83

الهندسة التحليلية في الفضاء 3

👁️ ترى

« طول »، « مسافة بين نقطتين » في الفضاء

⚡ الانعكاس

المعيار :

A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}

مثال:

A (0, 0, 0), B (2, 3, 6) : A B = 4 + 9 + 36 = 7

👁️ ترى

« منتصف » قطعة

[A B]

في الفضاء

⚡ الانعكاس

إحداثيات المنتصف :

I (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2}, \frac{z _{A} + z _{B}}{2})

مثال:

A (1, - 2, 3), B (3, 4, - 1) : I (2, 1, 1)

👁️ ترى

« تمثيل بارامتري » لمستقيم

(D)

في الفضاء

⚡ الانعكاس

جملة بارامترية : مع

A (x_{A}, y_{A}, z_{A})

u (a, b, c)

متجهة موجّهة،

⎩ ⎨ ⎧ x = x_{A} + t a y = y_{A} + t b z = z_{A} + t c, t \in R

مثال:

A (1, 2, - 1), u (2, - 1, 3) : x = 1 + 2 t, y = 2 - t, z = - 1 + 3 t

الأعداد النسبية 3

👁️ ترى

جداء أو خارج عددين نسبيين، مثل

(- 3) \times (- 4)

أو

(- 3) \times 5

⚡ الانعكاس

قاعدة الإشارات: نعدّ عدد إشارات الطرح. عدد زوجي (أو صفر) ← النتيجة موجبة، عدد فردي ← النتيجة سالبة.

مثال:

(- 3) \times (- 4) = 12

(- 3) \times 5 = - 15

👁️ ترى

جمع عددين نسبيين، مثل

(- 8) + 5

أو

(- 2) + (- 6)

⚡ الانعكاس

جمع الأعداد النسبية: إشارتان متماثلتان ← نجمع المسافتين عن الصفر ونحتفظ بالإشارة المشتركة. إشارتان مختلفتان ← نطرح أصغر مسافة من أكبر مسافة ونحتفظ بإشارة العدد الأبعد عن الصفر.

مثال:

(- 8) + 5 = - 3

(- 2) + (- 6) = - 8

👁️ ترى

حساب يجمع بين الجمع/الطرح والضرب لأعداد نسبية، مثل

- 2 - 3 \times (- 4)

⚡ الانعكاس

أولوية العمليات: نبدأ بالضرب (مع قاعدة إشاراته)، ثم نحوّل كل طرح لعدد سالب إلى جمع قبل الحساب من اليسار إلى اليمين.

مثال:

- 2 - 3 \times (- 4) = - 2 + 12 = 10

الحساب الحرفي والتوزيع 3

👁️ ترى

نشر

(x + 4) (x - 2)

، جداء قوسين

⚡ الانعكاس

4 حواصل:

a c + a d + b c + b d

. لا ننسى أبدا الحدين المتقاطعين.

مثال:

(x + 4) (x - 2) = x^{2} - 2 x + 4 x - 8 = x^{2} + 2 x - 8

👁️ ترى

إشارة طرح مباشرة قبل قوس:

5 - (2 x - 3)

⚡ الانعكاس

نغيّر جميع الإشارات داخل القوس عند حذفه.

مثال:

5 - (2 x - 3) = 5 - 2 x + 3 = 8 - 2 x

👁️ ترى

عبارة يحتوي فيها كل حد على نفس العامل:

3 x^{2} + 6 x

⚡ الانعكاس

العامل المشترك: نُخرجه أمام قوس مع ما تبقى من كل حد.

مثال:

3 x^{2} + 6 x = 3 x (x + 2)

الكسور 3

👁️ ترى

جمع

\frac{1}{2} + \frac{1}{3}

، كسران مقامهما مختلف

⚡ الانعكاس

مقام مشترك: نبحث عن مضاعف مشترك، نحوّل كل كسر، ثم نجمع البسطين.

مثال:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

👁️ ترى

تبسيط كسر مثل

\frac{12}{18}

للحصول على صورته غير القابلة للاختزال

⚡ الانعكاس

القاسم المشترك الأكبر: نبحث عن أكبر قاسم مشترك بين البسط والمقام، ثم نقسم عليه الاثنين.

مثال:

\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}

👁️ ترى

حساب $\frac{3}{4}$ من كمية، مثلا من 24

⚡ الانعكاس

كسر من عدد: نقسم الكمية على المقام، ثم نضرب النتيجة في البسط.

مثال:

\frac{3}{4} \times 24 = (24 \div 4) \times 3 = 18

التناسبية والنسب المئوية 3

👁️ ترى

جدول تناسبية يحتوي على خانة ناقصة

⚡ الانعكاس

الجداء الصليبي:

\frac{a}{b} = \frac{c}{x} \Rightarrow x = \frac{b \times c}{a}

مثال:

\frac{3}{12} = \frac{5}{x} \Rightarrow x = \frac{12 \times 5}{3} = 20

👁️ ترى

حساب نسبة مئوية من كمية

⚡ الانعكاس

الضرب في النسبة:

t %

من

N

يساوي

\frac{t}{100} \times N

مثال:

15 % من 80 = \frac{15}{100} \times 80 = 12

👁️ ترى

تطوران بالنسبة المئوية متتاليان (ارتفاع ثم انخفاض)

⚡ الانعكاس

المعاملات المضاعِفة: نضرب المعاملات، ولا نجمع أبدا النسب المئوية.

مثال:

100 \times 1, 2 \times 0, 9 = 108

مبرهنة فيثاغورس ومبرهنة طاليس 3

👁️ ترى

مثلث قائم الزاوية، نعرف ضلعين ونبحث عن الضلع الثالث

⚡ الانعكاس

مبرهنة فيثاغورس: نحدد الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة)، ثم

الوتر^{2} = الضلع_{1}^{2} + الضلع_{2}^{2}

مثال:

A B = 3, A C = 4

(الزاوية القائمة في

A

B C^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25 \Rightarrow B C = 5

👁️ ترى

مستقيمان متوازيان يقطعان مستقيمين متقاطعين، ونبحث عن طول ناقص

⚡ الانعكاس

مبرهنة طاليس: نحدد المثلثين المتداخلين، ثم نكتب تساوي نسب الأطوال المتناظرة لإيجاد المجهول.

مثال:

A M = 2, A B = 5, A C = 7, (M N) ∥ (B C)

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} \Rightarrow A N = 2, 8

👁️ ترى

نعرف الأضلاع الثلاثة لمثلث ونريد معرفة هل هو قائم الزاوية

⚡ الانعكاس

عكس مبرهنة فيثاغورس: نقارن مربع أكبر ضلع بمجموع مربعي الضلعين الآخرين؛ التساوي

\Rightarrow

مثلث قائم الزاوية.

مثال:

5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 1 3^{2} \Rightarrow

مثلث قائم الزاوية

التماثلات 3

👁️ ترى

نظير النقطة

A (2, 3)

بالنسبة إلى محور الأفاصيل (محور

x

)

⚡ الانعكاس

التماثل المحوري (محور أفقي): نحتفظ بـ

x

ونغيّر إشارة

y

مثال:

A (2, 3) \Rightarrow A^{'} (2, - 3)

👁️ ترى

إنشاء نظير نقطة

M

بالنسبة إلى نقطة

O

(التماثل المركزي)

⚡ الانعكاس

التماثل المركزي:

O

هي منتصف

[M M^{'}]

، إذن نغيّر إشارة إحداثيي

M

الاثنين بالنسبة إلى

O

مثال:

M (3, 1)

، المركز

O (0, 0) \Rightarrow M^{'} (- 3, - 1)

👁️ ترى

تحديد محور تماثل مثلث متساوي الساقين أو معين

⚡ الانعكاس

محور التماثل: الشكل ينطبق على نفسه بالطي على طول هذا المحور؛ وغالبا ما يصل رأسا بـمنتصف الضلع المقابل.

مثال: مثلث متساوي الساقين في

A (0, 4)

، القاعدة

[B C]

مع

B (- 3, 0)

C (3, 0) \Rightarrow

المحور

x = 0

المعادلات والمتراجحات 3

👁️ ترى

معادلة من الدرجة الأولى من نوع

3 x + 5 = 20

⚡ الانعكاس

عزل المجهول: ننقل الأعداد إلى طرف والـ

x

إلى الطرف الآخر، ثم نقسم على معامل

x

مثال:

3 x + 5 = 20 \Rightarrow 3 x = 15 \Rightarrow x = 5

👁️ ترى

متراجحة يجب فيها الضرب أو القسمة على عدد سالب

⚡ الانعكاس

عكس اتجاه المتراجحة بمجرد الضرب أو القسمة على عدد سالب.

مثال:

- 4 x \geq 12 \Rightarrow x \leq - 3

(الاتجاه يتغير لأننا نقسم على

- 4

)

👁️ ترى

معادلة جداء من نوع

(x - 2) (x + 3) = 0

⚡ الانعكاس

إلغاء كل عامل: الجداء يكون معدوما إذا كان أحد العاملين على الأقل معدوما.

مثال:

(x - 2) (x + 3) = 0 \Rightarrow x = 2 أو x = - 3

الإحصاء 3

👁️ ترى

سلسلة نقط بـحصيصات مختلفة

⚡ الانعكاس

المعدل المرجّح:

\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum n _{i} x _{i}}{\sum n _{i}}

، وليس معدلا بسيطا للقيم.

مثال: نقط

8, 12, 15

بحصيصات

2, 3, 5

\overset{x}{ˉ} = \frac{16 + 36 + 75}{10} = 12, 7

👁️ ترى

سؤال يطلب المدى لسلسلة قيم

⚡ الانعكاس

المدى: هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة،

E = القيمة القصوى - القيمة الدنيا

مثال: السلسلة

4, 9, 7, 15, 6

E = 15 - 4 = 11

👁️ ترى

جدول حصيصات مع سؤال حول التردد

⚡ الانعكاس

التردد: نقسم حصيص قيمة على الحصيص الإجمالي،

f = \frac{n _{i}}{N}

، والنتيجة غالبا بالنسبة المئوية.

مثال:

5

تلاميذ من أصل

25

f = \frac{5}{25} = 0, 2 = 20%

الكسور 3

👁️ ترى

\frac{3}{4}

من 20 » أو كسر من كمية

⚡ الانعكاس

القسمة ثم الضرب : نقسم على المقام، ثم نضرب في البسط.

مثال:

\frac{3}{4}

من

20

20 \div 4 = 5

، ثم

5 \times 3 = 15

👁️ ترى

مقارنة

\frac{2}{3}

\frac{3}{5}

، كسرين لهما مقامان مختلفان

⚡ الانعكاس

نفس المقام : نجعل للكسرين نفس المقام قبل مقارنة البسطين.

مثال:

\frac{2}{3} = \frac{10}{15}

\frac{3}{5} = \frac{9}{15}

إذن

\frac{2}{3} > \frac{3}{5}

👁️ ترى

جمع

\frac{2}{7} + \frac{3}{7}

، كسرين لهما نفس المقام

⚡ الانعكاس

نجمع البسطين : نحتفظ بنفس المقام ونجمع البسطين فقط.

مثال:

\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}

العمليات والقسمة الإقليدية 3

👁️ ترى

توزيع أشياء على حصص متساوية، مع إمكانية وجود باقٍ

⚡ الانعكاس

القسمة الإقليدية : المقسوم

=

المقسوم عليه

\times

الخارج

+

الباقي، مع باقٍ

<

المقسوم عليه.

مثال:

47

حلوى في أكياس من

5

47 = 5 \times 9 + 2

، إذن

9

أكياس ممتلئة و

2

باقية

👁️ ترى

التحقق من نتيجة قسمة منجزة

⚡ الانعكاس

إثبات القسمة : أعيد حساب المقسوم عليه

\times

الخارج

+

الباقي ويجب أن أجد المقسوم.

مثال:

51 \div 6

يعطي خارج

8

وباقي

3

6 \times 8 + 3 = 51

، صحيح

👁️ ترى

الباقي يُعيق نقل أو ترتيب الجميع

⚡ الانعكاس

التقريب إلى الكيس الأعلى : إذا لم يكن الباقي معدومًا، يلزم مجموعة إضافية حتى لا يبقى أحد خارجًا.

مثال:

34

تلميذًا، حافلة صغيرة بـ

8

مقاعد :

34 = 8 \times 4 + 2

، إذن يلزم

5

حافلات

التناسبية 3

👁️ ترى

3

كراريس ثمنها

18

درهمًا، كم ثمن

5

كراريس ؟ » (الانتقال من كمية إلى أخرى)

⚡ الانعكاس

العودة إلى الوحدة : نحسب أولًا ثمن كراس واحد، ثم نضرب في الكمية المطلوبة. لا نجمع أبدًا فرقًا إلى الثمن.

مثال:

18 \div 3 = 6

دراهم للكراس، ثم

6 \times 5 = 30

درهمًا لـ

5

كراريس

👁️ ترى

جدول تناسبية فيه خانة فارغة يجب إكمالها

⚡ الانعكاس

معامل التناسبية : نقسم عددًا من الأسفل على العدد الموافق له في الأعلى من نفس العمود، ثم نضرب في هذا المعامل لإيجاد الخانة الناقصة.

مثال:

4

كغ

\to 20

درهمًا يعطي المعامل

20 \div 4 = 5

، إذن

7

كغ

\to 7 \times 5 = 35

درهمًا

👁️ ترى

حساب $25%$ أو $50%$ من كمية

⚡ الانعكاس

نسبة مئوية بسيطة :

50%

يعني القسمة على

2

، و

25%

يعني القسمة على

4

(نصف النصف).

مثال:

25%

من

60

درهمًا

= 60 \div 4 = 15

درهمًا

الهندسة 3

👁️ ترى

يُطلب محيط مستطيل (وليس مساحته)

⚡ الانعكاس

المحيط :

P = 2 \times (L + l)

، بالمتر (طول، وليس مساحة).

مثال:

L = 8

م،

l = 5

م :

P = 2 \times (8 + 5) = 26

👁️ ترى

يُطلب مساحة مستطيل أو مربع (سطح، وليس محيطًا)

⚡ الانعكاس

المساحة : المستطيل

A = L \times l

، المربع

A = c \times c

، دائمًا بوحدات مربعة (

c m^{2}

m^{2}

...).

مثال:

L = 7

سم،

l = 4

سم :

A = 7 \times 4 = 28

c m^{2}

👁️ ترى

يُطلب معرفة إن كان لشكل محور تناظر

⚡ الانعكاس

محور التناظر : اطوِ الشكل على الخط ؛ إذا تطابق النصفان تمامًا، فهو محور تناظر.

مثال: مربع طول ضلعه 6 سم : له 4 محاور تناظر (قطران، ومنصفان)

القياسات والمدد الزمنية 3

👁️ ترى

تحويل وحدة طول أو كتلة (مثال : كم، م، سم أو كغ، غ)

⚡ الانعكاس

قوة العشرة : عدّ عدد المراتب بين الوحدتين، ثم حرّك الفاصلة بعدد المراتب نفسه (نحو اليمين إذا صارت الوحدة أصغر).

مثال:

3, 5

كم

= 3, 5 \times 1000 = 3500

👁️ ترى

جمع ساعات ودقائق (مثال : 20س45 + 50د)

⚡ الانعكاس

الأساس 60 : اجمع الدقائق ؛ حالما يبلغ المجموع 60 أو يتجاوزها، انقص 60 دقيقة وأضف ساعة واحدة.

مثال:

45 + 50 = 95

= 1

35

، إذن

20

00 + 1

35 = 21

35

👁️ ترى

حساب مدة بين توقيتين (مثال : الانطلاق 14س20، الوصول 16س05)

⚡ الانعكاس

خطوة بخطوة : تقدّم أولًا حتى الساعة المدوّرة، ثم أضف الدقائق المتبقية.

مثال:

14

20 \to 16

20 = 2

س، ثم

16

20 \to 16

05 = - 15

د، إذن

2

- 15

= 1

45

الأعداد العشرية 3

👁️ ترى

مقارنة

3, 45

3, 5

، عددين عشريين بعدد مختلف من الأرقام بعد الفاصلة

⚡ الانعكاس

إكمال بالأصفار :

3, 5

يصبح

3, 50

، ثم قارن رقمًا برقم بدءًا من الفاصلة.

مثال:

3, 45

3, 50

4 < 5

إذن

3, 45 < 3, 5

👁️ ترى

جمع

12, 3

4, 56

، عددين عشريين ليس لهما نفس عدد الأرقام بعد الفاصلة

⚡ الانعكاس

محاذاة الفاصلة : أكمل بالأصفار للحصول على نفس عدد الأرقام بعد الفاصلة، ثم اجمع كما لو كانا عددين صحيحين.

مثال:

12, 30 + 4, 56 = 16, 86

👁️ ترى

تقريب

7, 38

إلى أقرب عُشر

⚡ الانعكاس

انظر إلى الرقم التالي : إذا كان

5

أو أكثر، نزيد رقم الأعشار بـ 1، وإلا نحتفظ به كما هو.

مثال:

7, 38

مقرَّبًا إلى العُشر يعطي

7, 4

الانعكاس وحده لا يكفي دون التحرير : سلم التنقيط مُفكَّكًا · أطلس الأخطاء