أطلس الجسور

تقيس المشتقة لدالة سرعة تغيّرها اللحظية. إذا كانت $x(t)$ موضعًا بدلالة الزمن، فإن $x^{\prime }(t)$ هو معدل تغيّر $x$ بالنسبة إلى $t$.

في الحركية، يعطي موضع متحرك $x(t)$ سرعته اللحظية $v(t)=x^{\prime }(t)$ بالاشتقاق، وتسارعه $a(t)=v^{\prime }(t)=x^{\prime \prime }(t)$ باشتقاق ثانٍ. هذا هو التعريف الفيزيائي للسرعة: معدل تغيّر الموضع.

الموضع ← (اشتقاق) ← السرعة ← (اشتقاق) ← التسارع. تسارع ثابت يدل على حركة متغيرة بانتظام.

يسمح التكامل بحساب شغل قوة متغيرة: $W=\int F(x)dx$ (المساحة تحت منحنى القوة بدلالة الإزاحة).

بالنسبة لنابض صلابته $k$، تكون قوة الإرجاع $F(x)=-kx$. الشغل اللازم لشدّه من $0$ إلى $x$ (أي لمقاومة القوة $kx$) هو $W=\underset{0}{\overset{x}{\int }}k{x}^{\prime }d{x}^{\prime }=\frac{1}{2}k{x}^2$: وهي الطاقة الكامنة المرنة $E_p=\frac{1}{2}k{x}^2$ المخزّنة.

$E_p=\frac{1}{2}k{x}^2$ هي تكامل قوة الإرجاع $kx$: المساحة تحت مستقيم مثلث، ومن هنا يأتي المعامل $\frac{1}{2}$.

حلول المعادلة التفاضلية $y^{\prime }=ay$ (حيث $a\in \mathbb{R}$) هي الدوال $y(t)=C{e}^{at}$.

أثناء تفريغ مكثف سعته $C$ عبر مقاومة $R$، تحقق الشحنة $q(t)$ المعادلة $\frac{dq}{dt}=-\frac{q}{RC}$. إنها معادلة $y^{\prime }=ay$ حيث $a=-\frac{1}{RC}$، ومنه $q(t)=q_0{e}^{-t/RC}$، حيث $\tau =RC$ هو ثابت الزمن للدارة.

كل تناقص بنسبة « $37\%$ لكل ثابت زمن $\tau$ » (شحنة، تيار، توتر) يخفي معادلة $y^{\prime }=ay$ وحلًا من الشكل $y_0{e}^{-t/\tau }$.

الدالة الأسية المتناقصة $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$ (حيث $\lambda >0$) تنمذج كل تناقص متناسب مع الكمية المتبقية.

يتبع عدد الأنوية المشعة المتبقية قانون التناقص الإشعاعي $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$، حيث $\lambda$ هو ثابت التفكك الإشعاعي. عمر النصف $t_{1/2}$ (المدة اللازمة لاختفاء نصف الأنوية) يحقق $N_0{e}^{-\lambda t_{1/2}}=\frac{N_0}{2}$، ومنه $t_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda }$.

$t_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda }$: حل المعادلة $e^{-\lambda t}=\frac{1}{2}$ يعني دائمًا عزل $t$ باستعمال $\ln$.

عدد عقدي $z=a+jb$ له معيار $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ (يرمز الفيزيائيون للوحدة التخيلية بـ $j$ حتى لا تُخلط مع شدة التيار $i$).

في النظام الجيبي، تُمثَّل دارة RLC توالي بالمعاوقة العقدية $\underline{Z}=R+j\left(L\omega -\frac{1}{C\omega }\right)$. يعطي المعيار $|\underline{Z}|$ النسبة بين مطال التوتر ومطال التيار: $U_{max}=|\underline{Z}|\times I_{max}$.

معيار عدد عقدي (درس في الرياضيات) يصبح مباشرة المعاوقة بالأوم (مقدار فيزيائي قابل للقياس).

تُكتب دالة جيبية على الشكل $f(t)=A\cos (\omega t+\phi )$، دورها $T=\frac{2\pi }{\omega }$.

يُكتب استطالة مذبذب ميكانيكي (كتلة-نابض، بندول) أو مطال موجة متقدمة جيبية على الشكل $x(t)=X_m\cos (\omega t+\phi )$، حيث $X_m$ هو المطال، و$\omega =\frac{2\pi }{T}$ هو النبض، و$\phi$ هو الطور عند الأصل.

$\omega =\frac{2\pi }{T}$ تربط دائمًا بين النبض (فيزياء) والدور (قابل للقياس بالراسم أو بساعة توقيت).

متجهة $\vec{u}(x,y)$ لها معيار $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$ ؛ مجموع متجهتين يُحسب بجمع إحداثياتهما.

ينص القانون الثاني لنيوتن (العلاقة الأساسية للتحريك) على أن مجموع المتجهات للقوى المطبقة على جملة يساوي جداء كتلتها في تسارعها: $\sum \vec{F}=m\vec{a}$. إنها معادلة بين متجهات: يجب جمع إحداثيات كل قوة على حدة.

تُجمع القوى كـمتجهات، أبدًا كأعداد: $3\text{N}+4\text{N}$ متعامدتان لا تعطيان $7$ N بل $5$ N.

يحوّل اللوغاريتم العشري $\log (x)$ نسبة ضربية إلى فرق: $\log (10^{-n})=-n$.

يُعرَّف الأس الهيدروجيني pH لمحلول انطلاقًا من تركيز أيونات الأكسونيوم: $\text{pH}=-\log \left[{\text{H}}_3{\text{O}}^{+}\right]$. ولأن التراكيز تتفاوت على عدة رتب من الحجم ($10^{-1}$ إلى $10^{-14}$ mol/L)، فإن اللوغاريتم هو الأداة الملائمة لمقارنتها على سلم بسيط من 0 إلى 14.

$\log (a\times 10^{-n})=\log a-n$: الجزء الصحيح من pH يأتي من قوة العشرة، والجزء العشري يأتي من $\log a$.

العدد المشتق عند نقطة هو ميل المماس للمنحنى عند تلك النقطة: $f^{\prime }(t_0)=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}$.

في الحركية الكيميائية، السرعة اللحظية لتكوّن ناتج $P$ هي مشتقة تركيزه بدلالة الزمن: $v(t)=\frac{d[P]}{dt}$. بيانيًا، إنها ميل المماس لمنحنى $[P]=f(t)$ عند اللحظة $t$.

« السرعة اللحظية » في الكيمياء = « العدد المشتق » في الرياضيات = ميل المماس. تُقرأ دائمًا على مماس، أبدًا على قاطع.

لحادثتين مستقلتين $A$ و$B$: $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$. تسمح شجرة الاحتمالات بإحصاء الحالات الملائمة.

عند تزاوج بين فردين متغايري الزيجوت $Aa\times Aa$ (الأليل $A$ سائد)، ينقل كل والد $A$ أو $a$ باحتمال $\frac{1}{2}$، بشكل مستقل. تعطي شجرة ذات مستويين النمط الوراثي للنسل: $\frac{1}{4}AA$، $\frac{1}{2}Aa$، $\frac{1}{4}aa$، أي $\frac{3}{4}$ نمط ظاهري سائد و$\frac{1}{4}$ نمط ظاهري متنحٍّ — وهذا هو قانون مندل الثالث (الانعزال).

تزاوج $Aa\times Aa$ هو شجرة احتمالات ذات طابقين من الفروع $\frac{1}{2}/\frac{1}{2}$: احتمالات المسارات تُضرب، واحتمالات المسارات المؤدية إلى نفس النمط الظاهري تُجمع.

متتالية هندسية أساسها $q$ تحقق $u_n=u_0\times q^n$. هنا $q=2$: يتضاعف عدد الأفراد في كل جيل.

تنقسم بكتيريا إلى اثنتين كل $T$ دقيقة (زمن الجيل). بعد $n$ جيلًا، يتبع عدد الأفراد $N=N_0\times 2^n$، أي $N(t)=N_0\times 2^{t/T}$ بدلالة الزمن المنقضي $t$.

« يتضاعف العدد بفاصل منتظم » هو إشارة إلى متتالية هندسية أساسها 2، وليس متتالية حسابية.

المتوسط $\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}$ والانحراف المعياري $\sigma =\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n}}$ يلخصان سلسلة من القياسات.

كل قياس تجريبي (نبض القلب، طول النباتات، معدل التنفس) مكرر على عينة يُلخَّص بـمتوسطه (القيمة المركزية) وانحرافه المعياري (تشتت القياسات، وبالتالي موثوقية التجربة). انحراف معياري ضعيف يدل على قياسات قابلة للتكرار.

انحراف معياري صغير أمام المتوسط = قياسات موثوقة ؛ انحراف معياري كبير = نتيجة تجريبية ينبغي الشك فيها أو عينة غير متجانسة بما فيه الكفاية.

الدالة الأسية $N(t)=N_0{e}^{kt}$ تنمذج نموًا يكون فيه المعدل (وليس القيمة) ثابتًا: $N^{\prime }(t)=kN(t)$.

على مدى قصير، دون قيود على الموارد، ينمو عدد أفراد مجموعة وفق $N(t)=N_0{e}^{kt}$، حيث $k$ هو معدل النمو اللحظي. هذا هو نموذج مالتوس، أساس بيئة المجموعات قبل إدخال السعة الاستيعابية للوسط.

« معدل نمو ثابت » (وليس « عدد أفراد مضاف ثابت ») هو إشارة إلى نموذج أسي، وليس خطيًا.

العدد المشتق عند $t=0$ هو ميل المماس عند أصل المنحنى.

في الكيمياء الحيوية، تُقرأ السرعة الابتدائية $v_0$ لتفاعل محفَّز بإنزيم كميل المماس عند أصل منحنى $[\text{الناتج}]=f(\text{الزمن})$، قبل أن ينخفض تركيز الركيزة بشكل ملحوظ.

تُقرأ السرعة الابتدائية دائمًا عند أصل المنحنى: هناك يكون رسم المماس أبسط (ينطلق من $0$).