Les maths au quotidien

Chaque année, le capital est multiplié par $1,04$ : c'est une suite géométrique de raison $q=1,04$. Comme les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts l'année suivante, on parle d'intérêts composés. Au bout de $n$ années, le capital vaut $C_n=800\times 1,04^n$.

Au bout de 18 ans, ton capital atteint 1 620 € : il a plus que doublé sans que tu n'ajoutes un seul centime. Et le gain de la 18ᵉ année (62 €) est presque le double de celui de la 1ʳᵉ année (32 €) !

Chaque mois, la dette restante est multipliée par $1,009$ puis on retire la mensualité $m$. La suite des soldes $D_n$ vérifie $D_{n+1}=1,009D_n-m$. Pour que la dette tombe à 0 après 24 mois, on résout cette suite arithmético-géométrique, ce qui donne $m=\frac{0,009\times 2400}{1-1,009^{-24}}$.

La mensualité vaut 111,80 €, soit un total remboursé de 2 683 €. Le crédit t'a coûté 283 € de plus que le prix affiché : presque le prix d'un casque haut de gamme parti en fumée.

Une baisse de 30 % revient à multiplier par $0,70$, une baisse de 20 % à multiplier par $0,80$. Les pourcentages ne s'additionnent pas, leurs coefficients multiplicateurs se multiplient : $100\times 0,70\times 0,80=56$. La réduction réelle est $1-0,70\times 0,80=0,44$, soit 44 %.

Tu paies 56 €, pas 50 € : la « grosse promo » ne fait que −44 %. Croire qu'on additionne les remises, c'est s'imaginer 6 € de réduction qui n'existent pas.

L'inflation multiplie les prix par $1,03$ chaque année. Le pouvoir d'achat d'une somme fixe est donc divisé par $1,03$ par an : $P_n=50\times 1,03^{-n}$. C'est une suite géométrique décroissante de raison $\frac{1}{1,03}\approx 0,971$.

Au bout de 8 ans, tes 50 € n'achètent plus que l'équivalent de 39,50 € d'aujourd'hui. Tu as perdu 21 % de pouvoir d'achat sans avoir dépensé un centime de plus.

La TVA se calcule sur le prix hors taxes (HT), pas sur le prix payé (TTC). On a $\text{TTC}=\text{HT}\times 1,20$, donc pour retrouver le HT on divise : $\text{HT}=\frac{60}{1,20}=50$. La TVA est alors $60-50=10$ €.

Sur ce casque à 60 €, l'État encaisse 10 € de TVA, soit 1 € sur chaque tranche de 6 € que tu dépenses. Sur une année de courses à 4 000 € TTC, c'est environ 667 € de TVA que tu as versés sans t'en rendre compte.

La règle utilisée s'appelle l'enchère au second prix : celui qui propose le plus cher gagne la pub, mais il ne paie que le deuxième montant le plus élevé. Si Léa mise $4,00$ €, Karim $2,50$ € et Sara $1,80$ € pour 1000 affichages, Léa gagne mais ne paie que $2,50$ €. Le profit de Léa vaut $G=V-P$, où $V$ est ce que la pub lui rapporte vraiment et $P=2,50$ € le prix payé.

L'astuce mathématique : comme on paie le prix du voisin et non le sien, miser exactement la vraie valeur $V$ est la stratégie optimale. Mentir ne rapporte rien.

Une plateforme comme Instagram traite plusieurs millions de ces enchères par seconde. Sur une mise gagnante à 4 €, l'annonceur économise souvent 1 à 2 € grâce à la règle du second prix : c'est 30 à 40 % de budget en moins pour le même résultat.

Imagine que 20 personnes arrivent par heure mais que les guichets ne traitent que 16 dossiers par heure. Chaque heure, la file gonfle de $20-16=4$ personnes. Au bout de $t$ heures, la longueur de la file vaut $L(t)=4t$.

C'est une fonction affine croissante : tant que les arrivées dépassent le débit, l'attente augmente toujours, même sans foule visible. Il suffit d'un déséquilibre minuscule pour que tout déraille sur la durée.

Avec seulement 4 personnes d'écart par heure, après 3 h d'ouverture la file compte déjà 12 personnes de plus qu'au départ. Ajouter un seul guichet (qui ferait passer le débit à 20/h) suffirait à stopper net l'accumulation : la file ne grandit plus du tout.

Tu as 120 € de coûts fixes par jour, chaque taco te coûte 2 € à produire et tu le vends 6 €. Pour $x$ tacos, le coût total est $C(x)=120+2x$ et la recette $R(x)=6x$. Tu deviens rentable quand $R(x)\ge C(x)$, soit $6x\ge 120+2x$.

On résout : $4x\ge 120$, donc $x\ge 30$. Ce nombre $30$ est le seuil de rentabilité.

En dessous de 30 tacos par jour, tu travailles à perte. Mais dès le 31ᵉ, chaque taco te met 4 € net dans la poche. Vendre 50 tacos rapporte donc $(50-30)\times 4=80$ € de bénéfice : le passage du rouge au vert se joue sur quelques ventes.

Un gâteau rapporte 8 € et une tarte 5 €. Le profit à maximiser est $P=8g+5t$. Mais deux contraintes coincent : le four impose $2g+t\le 16$ (en heures) et le beurre $g+t\le 10$ (en plaquettes), avec $g\ge 0$ et $t\ge 0$.

Ces inéquations dessinent une zone de choix possibles, et le meilleur profit se trouve toujours sur l'un des coins de cette zone : il suffit de les tester un par un.

En testant les sommets, le point gagnant est 6 gâteaux et 4 tartes : profit $8\times 6+5\times 4=68$ €. Tout miser sur les gâteaux (8 gâteaux, 0 tarte) ne donnerait que 64 € : le bon mélange rapporte 4 € de plus, sans travailler une minute de plus.

Une façon simple de modéliser : à partir d'un prix de base $p_0$, chaque nouvelle place vendue multiplie le tarif par un facteur $q>1$. Après $n$ places vendues :

$p(n)=p_0\times q^n$

Avec $p_0=39$ € et $q=1,05$, au bout de $n=30$ places vendues :

$p(30)=39\times 1,05^{30}\approx 168$ €

De 39 € à 168 € pour le même siège : le prix a été multiplié par plus de 4 (+330 %), uniquement parce que l'avion s'est rempli. Réserver tôt, c'est acheter quand $n$ est encore petit.

Ton téléphone vaut $800$ € et la probabilité de casse sur 2 ans est estimée à $p=0,12$. Ton gain moyen (remboursement espéré) vaut :

$E(\text{gain})=p\times 800=0,12\times 800=96$ €

Mais tu payes $216$ €. Ton espérance nette est donc :

$96-216=-120$ €

En moyenne, tu perds 120 € sur ce contrat — et c'est exactement la marge de l'assureur. L'assurance n'est pas un mauvais calcul pour autant : elle sert à éviter la catastrophe rare, pas à gagner de l'argent.

Le coût cumulé de l'abonnement mensuel après $n$ mois est une fonction affine :

$C(n)=4,99n$

L'offre à vie coûte $179$ € quel que soit $n$. Les deux se croisent quand :

$4,99n=179\Rightarrow n=\frac{179}{4,99}\approx 36\text{ mois}$

Le point de bascule est à 36 mois, soit 3 ans. Si tu gardes l'appli 5 ans, tu économises $4,99\times 60-179\approx$ 120 €. Moins longtemps ? Le mensuel gagne.

La moyenne ne suffit pas : il faut mesurer la dispersion autour d'elle. C'est l'écart-type $\sigma$ :

$\sigma =\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$

Un petit $\sigma$ = rendements réguliers ; un grand $\sigma$ = montagnes russes. En finance, $\sigma$ porte même un nom : la volatilité.

Une action à $\sigma =20\%$ signifie qu'une année sur trois environ, elle s'écarte de plus de 20 points de sa moyenne. Deux placements de même rendement peuvent donc être totalement différents : tout est dans l'écart-type.

Coût cumulé de la location après $n$ mois : $L(n)=700n$. Coût de l'achat : $20000$ € de frais fixes, puis $500$ € par mois : $A(n)=20000+500n$. On cherche quand $A(n)<L(n)$ :

$20000+500n<700n\Rightarrow n>\frac{20000}{200}=100$

Le seuil est à 100 mois, soit 8 ans. Avant, louer coûte moins cher ; après, acheter l'emporte. Deux droites qui se croisent décident d'un choix de vie.

Il faut distinguer arrondir et tronquer. Arrondi de $19,99$ à l'unité : $20$. Mais la troncature (on coupe) donne $19$ :

$\lfloor 19,99\rfloor =19$

Ton cerveau fait, inconsciemment, une troncature. L'écart réel n'est que de $0,01$ € ; l'écart perçu est de $1$ €.

Un centime bien placé change une dizaine perçue : c'est pour ça que le ,99 fait vendre. La différence entre arrondir et tronquer, ici, vaut de l'argent réel.

Manger $x$ plats « vaut » $4x$ € à la carte. Le buffet est rentable quand cette valeur dépasse le prix payé :

$4x>25\Rightarrow x>\frac{25}{4}=6,25$

Il faut manger au moins 7 plats pour être gagnant. En dessous, la carte était moins chère — le restaurateur, lui, compte sur le fait que la plupart des clients s'arrêtent à 4 ou 5.

Une chanson devient un vecteur de goûts, par exemple $\vec{u}=(0,8;0,3;0,6)$ pour (énergie, calme, mélodie). Pour mesurer si deux titres se ressemblent, on calcule la similarité cosinus : $\cos (\theta )=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert }$. Plus le résultat est proche de $1$, plus les deux morceaux pointent dans la même direction… et plus l'algo te les recommande ensemble.

Spotify analyse plus de 100 millions de titres, chacun décrit par des dizaines de caractéristiques. Ton « profil » de goût est un seul point perdu dans cet espace à des dizaines de dimensions.

Chaque satellite envoie l'heure exacte ; ton tél en déduit sa distance $d$ à partir du temps de trajet du signal. La distance entre toi $(x;y)$ et un satellite $(a;b)$ suit la formule issue de Pythagore : $d=\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}$. Chaque satellite te place sur un cercle ; avec trois cercles qui se croisent, il ne reste qu'un seul point commun : toi. C'est la trilatération.

Le signal voyage à environ 300 000 km/s. Une erreur d'horloge d'un millionième de seconde décale ta position de 300 mètres : c'est pourquoi les satellites portent des horloges atomiques.

L'image est découpée en petits carrés de $8\times 8=64$ pixels. Dans chaque carré, l'algo remplace les détails par leur moyenne et quelques variations principales, puis arrondit fortement les détails fins que l'œil ne perçoit pas. Si on garde $k$ valeurs utiles sur $64$, le taux de compression vaut $\tau =1-\frac{k}{64}$. Garder seulement $10$ valeurs donne $\tau \approx 0,84$, soit 84 % de données en moins.

L'œil humain distingue mal les variations brutales de couleur sur quelques pixels : le JPEG « jette » jusqu'à 90 % de l'information sans que tu remarques la différence à l'écran.

Avec un alphabet de $n$ symboles possibles et un mot de passe de longueur $L$, le nombre de combinaisons est $N=n^L$. En mélangeant minuscules, majuscules, chiffres et symboles, on a $n=94$. Pour $L=12$ : $N=94^{12}\approx 4,8\times 10^{23}$ possibilités. Chaque caractère ajouté multiplie le total par 94, pas juste un peu : c'est une croissance exponentielle.

Même à 1 000 milliards d'essais par seconde, parcourir ces $4,8\times 10^{23}$ combinaisons prendrait plus de 15 000 ans. Un mot de passe de 6 lettres, lui, tomberait en moins d'une seconde.

Le modèle estime $P(\text{chat}\mid \text{image})$ : la probabilité que ce soit un chat sachant ce qu'il observe (oreilles pointues, moustaches, forme des yeux). On évalue sa qualité avec la précision $\text{preˊcision}=\frac{VP}{VP+FP}$, où $VP$ sont les vrais positifs et $FP$ les fausses alertes. Plus la précision est proche de $1$, moins l'IA confond ton chat avec un renard.

Les meilleurs modèles dépassent 99 % de bonnes réponses sur des images classiques… mais il suffit de changer quelques pixels invisibles à l'œil pour les tromper et leur faire voir un chat là où il y a un grille-pain.

Un son se décompose en une somme de fonctions sinusoïdales de fréquences différentes :

$s(t)=\sum _k{a}_k\sin (2\pi f_{k}t)$

À chaque instant, Shazam repère les fréquences les plus fortes $f_k$ et n'en garde que quelques points : une « constellation » de pics. Cette empreinte compacte est ensuite comparée à la base de données.

Quelques pics par seconde suffisent pour identifier un morceau parmi plus de 100 millions de titres — et ça résiste au bruit, parce que les pics dominants, eux, survivent.

Les données sont complétées par des symboles de contrôle, construits comme les valeurs d'un polynôme en plusieurs points. Or un polynôme de degré $d$ est entièrement déterminé par $d+1$ points :

$P(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_d{x}^d$

Si quelques points sont perdus, il en reste assez pour retrouver $P$ tout entier — donc les données d'origine.

Au niveau de correction le plus élevé, jusqu'à 30 % du QR code peut être effacé ou masqué : il reste lisible. C'est pour ça qu'on peut y coller un logo au centre.

Si chaque spectateur la montre en moyenne à $r$ personnes, le nombre de vues après $n$ vagues est :

$v_n=v_0\times r^n$

En partant de $v_0=1$ avec $r=4$, on atteint le million quand $4^n\ge 10^6$, soit :

$4^{10}=1048576$

10 vagues de partage suffisent pour passer de 1 à plus d'un million. C'est aussi pour ça qu'une vidéo « meurt » vite si $r$ tombe sous 1 : la même formule marche à la baisse.

La distance d'édition compte le nombre minimal de modifications (ajout, suppression, échange de lettres) pour passer d'un mot à un autre. De « recveoir » à « recevoir » : une seule inversion, donc distance $1$.

$d(\text{recveoir},\text{recevoir})=1$

Le téléphone cherche le mot du dictionnaire à la plus petite distance, puis départage avec la probabilité que ce mot apparaisse.

Parmi plus de 100 000 mots, l'algorithme trouve le bon en un instant : il combine la distance (proximité) et les statistiques d'usage (fréquence). Deux idées mathématiques dans chaque frappe.

Chaque lumière a $256$ niveaux d'intensité (de $0$ à $255$). Une couleur, c'est un dosage des trois indépendamment : par le principe multiplicatif,

$256\times 256\times 256=256^3=2^{24}$

Cela fait 16 777 216 couleurs — plus que l'œil humain ne sait en distinguer. Trois nombres entre 0 et 255 suffisent à coder chaque teinte : c'est le fameux code RVB.

L'accéléromètre mesure le vecteur gravité $\vec{g}$ selon les trois axes du téléphone : $\vec{g}=(g_x,g_y,g_z)$. L'angle d'inclinaison $\theta$ par rapport à la verticale se calcule avec le produit scalaire :

$\cos \theta =\frac{\vec{g}\cdot \vec{k}}{\Vert \vec{g}\Vert \Vert \vec{k}\Vert }$

Des centaines de fois par seconde, ton téléphone décompose un vecteur en 3 coordonnées pour connaître son orientation. Sans vecteurs, pas de rotation d'écran, ni de podomètre, ni de jeux qui se pilotent en inclinant.

Avec $n$ arrêts, le nombre d'ordres possibles est la factorielle $n!=n\times (n-1)\times \cdots \times 2\times 1$. Pour $15$ arrêts :

$15!=1307674368000\approx 1,3\times 10^{12}$

Plus de mille milliards de tournées possibles pour seulement 15 colis ! Tester chaque trajet est impossible : c'est pour ça que les apps de livraison utilisent des astuces mathématiques pour trouver un très bon trajet, pas forcément le meilleur.

La quantité présente dans le sang suit $Q(t)=Q_0{e}^{-kt}$, une décroissance exponentielle. La "demi-vie" $T$ est le temps pour passer de $Q_0$ à $Q_0/2$ : on résout $e^{-kT}=\frac{1}{2}$, soit $T=\frac{\ln 2}{k}$.

Comme cette durée $T$ ne dépend pas de la dose de départ, il faut toujours le même temps pour éliminer la moitié du produit restant.

La demi-vie du paracétamol est d'environ 2 h 30. Après 5 demi-vies (~12 h), il reste ${\left(\frac{1}{2}\right)}^5\approx 3\%$ de la dose : c'est pour ça qu'on respecte un délai entre deux prises.

Si chaque malade en contamine $r$ autres, le nombre de cas forme une suite géométrique : $u_{n+1}=r{u}_n$, donc $u_n=u_0{r}^n$. Ici $r=2$ : le nombre de malades double à chaque "vague".

Tant que $r>1$, la croissance est exponentielle ; dès que $r<1$ (vaccins, gestes barrières), l'épidémie s'éteint.

En partant d'un seul cas avec $r=2$, il suffit de $20$ doublements pour dépasser le million : $2^{20}=1048576$. Vingt étapes seulement séparent un malade d'une ville entière.

En négligeant l'air, la hauteur du ballon en fonction de la distance $x$ s'écrit $h(x)=-a{x}^2+bx+c$, un polynôme du second degré. Le coefficient $-a<0$ donne une parabole tournée vers le bas.

Le sommet, point le plus haut, est atteint en $x=\frac{b}{2a}$ : c'est là que le ballon "bascule" vers le panier.

Un tir réussi entre dans le cercle sous un angle d'environ $45°$ : c'est la trajectoire qui offre la plus large "fenêtre" d'entrée. Trop tendu, le ballon a presque $2$ fois moins de chances de passer.

On estime la fréquence cardiaque maximale par une fonction affine de l'âge : $\text{FCM}=220-\hat{a}ge$ (en battements/min). Une zone d'effort à $p\%$ correspond alors à $\frac{p}{100}\times \text{FCM}$.

Comme la FCM diminue linéairement avec l'âge, chaque année retirée fait baisser toutes les zones d'un battement.

Pour un lycéen de 16 ans, $\text{FCM}=220-16=204$ bpm. La zone "brûle-graisses" à 65 % vise donc $\approx 133$ bpm : à peine plus que monter quatre étages en courant.

Un modèle réaliste est la suite logistique $u_{n+1}=u_n+r{u}_n\left(1-\frac{u_n}{K}\right)$, où $K$ est la capacité d'accueil du milieu. Tant que $u_n$ est petit, la croissance est presque géométrique.

Mais quand $u_n$ approche $K$, le terme $\left(1-\frac{u_n}{K}\right)$ tend vers $0$ : la suite converge vers la limite $K$ au lieu de diverger.

En 1859, $24$ lapins introduits en Australie sont devenus plus de $600$ millions en 50 ans, faute de prédateurs : la preuve grandeur nature qu'une croissance non freinée devient vite incontrôlable.

Le signal capté par l'IRM est une onde qui oscille dans le temps. On la modélise par une fonction sinusoïdale :

$$s(t)=A\sin (2\pi ft+\phi )$$

où $A$ est l'amplitude (la force du signal), $f$ la fréquence (le nombre de tours par seconde) et $\phi$ la phase (le décalage de départ). La période vaut $T=\frac{1}{f}$ : le motif se répète à l'identique tous les $T$ secondes.

L'astuce géniale : chaque type de tissu (muscle, graisse, os) renvoie une onde avec une fréquence et une amplitude légèrement différentes. En décomposant le signal reçu en une somme de sinus de fréquences variées — c'est l'idée de l'analyse de Fourier — la machine retrouve « qui a émis quoi », donc à quel endroit se trouve chaque tissu. Chaque pixel de l'image correspond à un sinus identifié.

Dans une IRM courante de 1,5 tesla, les protons d'hydrogène de ton corps oscillent à environ 64 millions de fois par seconde (64 MHz). C'est exactement dans la bande des ondes radio FM : ton genou « émet une radio » que la machine sait écouter.

Soit $\theta (t)$ la température de la pièce et ${\theta }_c=20$ °C la température visée. La loi de Newton dit que la vitesse de réchauffement est proportionnelle à l'écart restant :

$${\theta }^{\prime }(t)=-k(\theta (t)-{\theta }_c),k>0$$

La solution de cette équation différentielle est une exponentielle décroissante de l'écart :

$$\theta (t)={\theta }_c+({\theta }_0-{\theta }_c)e^{-kt}$$

Avec ${\theta }_0=12$ °C, l'écart de départ est de 8 °C. Comme $e^{-kt}$ tend vers 0 sans jamais l'atteindre, la température s'approche de 20 °C par en dessous, indéfiniment : voilà pourquoi les derniers degrés n'arrivent jamais tout à fait. La droite $\theta =20$ est une asymptote horizontale.

Si l'écart de température diminue de moitié toutes les 10 minutes, alors pour passer de 12 °C à 19 °C il faut environ 30 minutes, mais pour grappiller le tout dernier demi-degré (de 19,5 à 20) il faudrait théoriquement un temps infini. Le « 100 % chaud » n'existe mathématiquement jamais.

On note $M$ « être malade » et $T^{+}$ « test positif ». On a $P(M)=0,001$, $P(T^{+}\mid M)=0,99$ (sensibilité) et $P(T^{+}\mid \overline{M})=0,05$ (taux de faux positifs). On cherche $P(M\mid T^{+})$, la probabilité d'être malade SACHANT que le test est positif.

La formule de Bayes :

$$P(M\mid T^{+})=\frac{P(M)P(T^{+}\mid M)}{P(M)P(T^{+}\mid M)+P(\overline{M})P(T^{+}\mid \overline{M})}$$

$$P(M\mid T^{+})=\frac{0,001\times 0,99}{0,001\times 0,99+0,999\times 0,05}\approx \frac{0,00099}{0,05094}\approx 0,019$$

Soit environ 1,9 %. La clé : sur 1000 personnes, on a en moyenne 1 vrai malade détecté, mais environ 50 faux positifs parmi les 999 personnes saines.

Sur 1000 testés, le test sonne l'alarme pour environ 51 personnes… dont une seule est vraiment malade. 50 sur 51 alarmes sont des fausses alertes. C'est pour ça que les médecins refont toujours un second test indépendant.

On note $L_n$ le nombre de lapins et $R_n$ celui de renards à l'année $n$. D'une année sur l'autre :

$$L_{n+1}=L_n+a{L}_n-b{L}_n{R}_n$$

$$R_{n+1}=R_n-c{R}_n+d{L}_n{R}_n$$

Les lapins croissent seuls (terme $+a{L}_n$) mais se font manger (terme $-b{L}_n{R}_n$, proportionnel aux rencontres entre les deux espèces). Les renards meurent sans proies ($-c{R}_n$) mais prospèrent quand ils mangent ($+d{L}_n{R}_n$).

Le couple $(L_n,R_n)$ ne tend vers aucune limite fixe : il tourne en boucle autour d'un point d'équilibre. Quand on trace $R_n$ en fonction de $L_n$, on obtient une courbe fermée parcourue indéfiniment — l'oscillation perpétuelle.

Les relevés de fourrures de l'entreprise canadienne Hudson's Bay sur près de 90 ans montrent que lièvres et lynx oscillent avec un cycle remarquablement régulier d'environ 10 ans — et que le pic des lynx arrive toujours 1 à 2 ans APRÈS celui des lièvres. La théorie l'avait prédit avant qu'on le mesure.

Le carbone 14 a une demi-vie de $5730$ ans : il en disparaît la moitié à chaque période. Après $t$ années, il reste :

$N(t)=N_0\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/5730}$

Pour un fossile de $40000$ ans :

${\left(\frac{1}{2}\right)}^{40000/5730}\approx {\left(\frac{1}{2}\right)}^7\approx 0,008$

Il reste moins de 1 % du carbone 14 d'origine. Au-delà de 50 000 ans, il en reste trop peu à mesurer : c'est la limite de la méthode, et c'est la fonction exponentielle qui la fixe.

L'énergie se dilue sur la surface d'une sphère, qui vaut $4\pi d^2$. L'intensité reçue suit donc une loi en inverse du carré :

$I(d)=\frac{I_0}{d^2}$

Si tu doubles la distance ($d\to 2d$) :

$I(2d)=\frac{I_0}{(2d{)}^2}=\frac{I_0}{4d^2}=\frac{I(d)}{4}$

Deux fois plus loin = 4 fois moins de signal. Trois fois plus loin = 9 fois moins. C'est le carré au dénominateur qui rend la chute aussi violente.

La suite de Fibonacci ajoute chaque terme aux deux précédents : $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55\dots$ Le rapport de deux termes consécutifs tend vers le nombre d'or :

$\frac{F_{n+1}}{F_n}⟶\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618$

En plaçant chaque graine à un angle de $360^{\circ }/\phi \approx 137,5^{\circ }$, la plante remplit l'espace sans laisser de trou.

On compte presque toujours 34 et 55 spirales — deux nombres de Fibonacci voisins. La nature « calcule » le nombre d'or sans le savoir, pour un ensoleillement optimal.

Si on multiplie toutes les longueurs par $k$ : la surface (donc la force des muscles, qui dépend de leur section) est multipliée par $k^2$, mais le volume (donc le poids) par $k^3$.

$\text{Force}\propto k^2\text{Poids}\propto k^3$

En doublant la taille ($k=2$), la force $\times 4$ mais le poids $\times 8$.

Un géant $10$ fois plus grand serait $100$ fois plus fort… mais 1000 fois plus lourd. Ses jambes s'effondreraient sous son propre poids. C'est le carré contre le cube qui interdit les monstres géants.

La hauteur d'eau au fil du temps suit une sinusoïde :

$h(t)=h_0+A\sin \left(\frac{2\pi }{T}t\right)$

où $A$ est l'amplitude (le marnage) et $T\approx 12$ h $25$ min la période d'un cycle complet. Prévoir la marée, c'est évaluer un sinus.

Les calendriers des marées, imprimés des mois à l'avance, ne sont que des sinus calculés. Le même outil décrit un son, un courant électrique ou une balançoire.

À chaque étape, un motif se divise en copies plus petites d'un facteur $r<1$. La taille des détails suit une suite géométrique $r^n\to 0$, mais leur nombre explose. Résultat surprenant : on peut avoir un périmètre infini dans une surface finie.

$\text{longueur}\to +\infty ,\text{aire}\to \text{finie}$

C'est le « paradoxe de la côte » : plus tu mesures finement la côte de Bretagne, plus elle est longue, sans limite. Fougères, nuages, poumons, éclairs : les fractales sont partout dans la nature.

On capture $50$ poissons, on les marque, on les relâche. Plus tard, on repêche $40$ poissons : $10$ portent une marque. La proportion de marqués dans l'échantillon reflète celle du lac entier :

$\frac{50}{N}=\frac{10}{40}\Rightarrow N=\frac{50\times 40}{10}=200$

On estime 200 poissons dans le lac, sans jamais tous les voir. Cette méthode « capture–recapture » sert à compter les baleines, les cerfs… et même la population de villes anciennes.

La masse de pâte dépend du volume, qui varie comme le cube de la taille : multiplier les dimensions par $k$ multiplie le volume par $k^3$. Mais la chaleur entre par la surface, qui varie en $k^2$. Le temps de cuisson dépend de l'épaisseur que la chaleur doit traverser, donc grossièrement de la distance au centre. C'est pourquoi doubler les ingrédients $\ne$ doubler le temps : il faut surtout un moule plus large (pour étaler), pas plus profond.

Si tu agrandis un moule cubique en multipliant chaque côté par $2$, il contient $2^3=8$ fois plus de pâte, mais n'expose que $2^2=4$ fois plus de surface au four.

Monter d'une octave, c'est doubler la fréquence du son. Pour découper l'octave en 12 demi-tons égaux à l'oreille, on multiplie à chaque pas par un même facteur $r$ : les fréquences forment une suite géométrique. Il faut donc $r^{12}=2$, c'est-à-dire $r=2^{1/12}\approx 1,0595$. Chaque demi-ton augmente la fréquence d'environ $5,9\%$.

Le "la" de référence vaut $440$ Hz ; le "la" de l'octave au-dessus vaut exactement $440\times 2=880$ Hz, et celui du dessous $220$ Hz.

L'ordre des numéros ne compte pas : le nombre de grilles possibles pour les 5 numéros est le coefficient binomial $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{5}\right)=\frac{49!}{5!44!}=1906884$. En ajoutant le numéro chance parmi 10, on obtient $1906884\times 10=19068840$ combinaisons. La probabilité de gagner le jackpot vaut donc $P=\frac{1}{19068840}$.

Ta chance de jackpot est d'environ $1$ sur $19$ millions : tu as statistiquement plus de risques d'être frappé par la foudre dans l'année (≈ $1$ sur $1$ million) que de toucher le gros lot.

Sur un échantillon aléatoire de taille $n$, la proportion mesurée fluctue autour de la vraie proportion. La marge d'erreur approximative est $\frac{1}{\sqrt{n}}$. Pour $n=1000$, on a $\frac{1}{\sqrt{1000}}\approx 0,032$, soit environ $\pm 3$ points. Le "52 %" signifie en réalité : la vraie valeur est presque sûrement entre $49\%$ et $55\%$ — d'où le suspense quand c'est serré.

Pour diviser la marge d'erreur par 2, il ne faut pas 2 fois plus de personnes mais $4$ fois plus : passer de $1000$ à $4000$ interrogés pour gagner seulement $1,5$ point de précision.

La vitesse moyenne, c'est la distance totale divisée par le temps total, pas la moyenne des deux vitesses. Pour deux trajets de même distance $d$, le temps total est $\frac{d}{130}+\frac{d}{50}$, et la vitesse moyenne devient la moyenne harmonique $v=\frac{2}{\frac{1}{130}+\frac{1}{50}}\approx 72,2$ km/h. Le trajet lent "pèse" plus lourd car on y passe plus de temps.

Entre la moyenne attendue ($90$ km/h) et la réalité ($72$ km/h), il y a près de $18$ km/h d'écart : sur un trajet de $260$ km, cela fait $50$ minutes de route en plus que prévu.

On ne fait pas la somme $8+5+4=17$. Choisir un burger puis une boisson puis un dessert, ce sont des choix successifs et indépendants : on les multiplie.

C'est le principe multiplicatif : si une première étape a $a$ possibilités et une deuxième en a $b$, alors l'ensemble des deux étapes en a $a\times b$.

$$N=8\times 5\times 4=160\text{ menus diffeˊrents}$$

Imagine un arbre : 8 branches au départ, chacune se divise en 5, puis chacune de ces 40 branches se divise encore en 4. On compte les bouts de l'arbre : $8\times 5\times 4$.

Et si on ajoute une taille de frites (3 choix) et une sauce (6 choix) ?

$$8\times 5\times 4\times 3\times 6=2880\text{ menus}$$

Chaque petite option supplémentaire multiplie le total : c'est ce qu'on appelle une explosion combinatoire.

Avec seulement 8 burgers, 5 boissons et 4 desserts, il y a 160 menus distincts : tu pourrais manger un menu différent chaque jour pendant plus de 5 mois sans jamais te répéter. Ajoute la taille des frites et la sauce, et tu passes à 2 880 menus — soit près de 8 ans de repas quotidiens tous différents.

Sur une route, le débit (nombre de voitures qui passent par heure) dépend de la densité $d$ (voitures par km). Un modèle simple : plus il y a de voitures, plus elles roulent lentement. On pose une vitesse qui décroît avec la densité :

$$v(d)=v_{\max }\left(1-\frac{d}{d_{\max }}\right)$$

où $v_{\max }$ est la vitesse libre (130 km/h) et $d_{\max }$ la densité où tout est à l'arrêt (pare-chocs contre pare-chocs). Le débit est alors :

$$Q(d)=d\times v(d)=v_{\max }d\left(1-\frac{d}{d_{\max }}\right)$$

C'est une parabole tournée vers le bas. Elle s'annule en $d=0$ (route vide, personne ne passe) et en $d=d_{\max }$ (tout est bloqué, personne ne passe non plus). Le débit est maximal au sommet, à mi-chemin :

$$d^{\ast }=\frac{d_{\max }}{2}$$

Au-delà de ce seuil, ajouter une seule voiture fait baisser le débit total : le système devient instable, et le moindre coup de frein déclenche l'onde. On le voit avec la dérivée $Q^{\prime }(d)=v_{\max }\left(1-\frac{2d}{d_{\max }}\right)$, qui devient négative dès que $d>d^{\ast }$.

Une autoroute écoule son maximum de voitures non pas quand elle est vide, ni quand elle est pleine, mais quand elle est à moitié remplie. Au-delà de cette densité critique, chaque voiture supplémentaire réduit le nombre total de voitures qui passent : c'est pour ça qu'une onde de freinage peut figer un trafic dense sans aucune cause visible, et qu'elle remonte la file à environ 20 km/h… vers l'arrière.

On répartit $N$ points régulièrement sur le cercle, numérotés de $0$ à $N-1$. On fixe un facteur $k$. La règle : on relie chaque point $n$ au point

$$f(n)=(k\times n)\mathrm{mod}N$$

Le symbole $\mathrm{mod}N$ signifie "le reste de la division par $N$". Comme les points forment un cercle, après le point $N-1$ on revient à $0$ : c'est exactement l'arithmétique modulaire, celle de l'horloge où après 12 on repasse à 1.

Exemple avec $N=10$ et $k=2$ : le point $7$ se relie au point $(2\times 7)\mathrm{mod}10=14\mathrm{mod}10=4$. Le point $6$ va vers $12\mathrm{mod}10=2$, et ainsi de suite.

Géométriquement, chaque point est placé à l'angle ${\theta }_n=\frac{2\pi n}{N}$, de coordonnées $\left(\cos {\theta }_n,\sin {\theta }_n\right)$. Le facteur $k$ choisi détermine la figure : $k=2$ donne une cardioïde (forme de cœur), $k=3$ une néphroïde à deux boucles, et plus généralement $k$ produit un motif à $k-1$ "pétales". Le nombre de pétales est donc piloté par une simple multiplication.

Une rosace de vitrail digne d'une cathédrale tient en une seule ligne de règle : relier $n$ à $2n$ modulo $N$. Avec $N=200$ points, ça fait 200 segments tracés mécaniquement — et pourtant l'œil voit apparaître une cardioïde parfaite que personne n'a dessinée. Changer le facteur de $2$ à $99$ transforme instantanément le cœur en une fleur à dizaines de pétales : la beauté du motif est entièrement codée dans un seul nombre.

L'aire d'un disque de rayon $r$ (donc de diamètre $D=2r$) est :

$$\mathcal{A}=\pi r^2=\pi {\left(\frac{D}{2}\right)}^2=\frac{\pi D^2}{4}$$

Le point crucial : l'aire dépend de $D^2$, pas de $D$. Ce n'est pas une situation de proportionnalité entre le diamètre et la quantité de pizza.

Petite pizza ($D=26$ cm) :

$${\mathcal{A}}_p=\frac{\pi \times 26^2}{4}=\frac{\pi \times 676}{4}\approx 531{\text{ cm}}^2$$

Grande pizza ($D=40$ cm) :

$${\mathcal{A}}_g=\frac{\pi \times 40^2}{4}=\frac{\pi \times 1600}{4}\approx 1257{\text{ cm}}^2$$

La grande offre $\frac{1257}{531}\approx 2,4$ fois plus de pizza, pour seulement $\frac{16}{9}\approx 1,8$ fois le prix. Comparons le prix au cm² :

$$\text{Petite : }\frac{9}{531}\approx 1,7{\text{ centime/cm}}^2\text{Grande : }\frac{16}{1257}\approx 1,3{\text{ centime/cm}}^2$$

Deux petites pizzas donnent $2\times 531=1062$ cm² pour 18 €, soit moins de pizza que la grande seule (1257 cm²) à 2 € de plus.

La grande pizza a un diamètre seulement 1,5 fois plus grand que la petite… mais elle contient 2,4 fois plus à manger, parce que l'aire grandit comme le carré du diamètre. Résultat : deux petites pizzas (18 €) te donnent moins à manger qu'une seule grande (16 €). La règle universelle à retenir : prends toujours la plus grande, c'est presque toujours le meilleur rapport quantité/prix.

Après $n$ pliages, l'épaisseur est :

$e(n)=0,1\times 2^n\text{ mm}$

Pour $n=42$ :

$2^{42}\approx 4,4\times 10^{12}\Rightarrow e(42)\approx 4,4\times 10^{11}\text{ mm}\approx 440000\text{ km}$

440 000 km : plus loin que la Lune (384 400 km) ! (En vrai, on ne peut plier une feuille qu'une dizaine de fois.) Voilà pourquoi une croissance qui « double » est si dangereuse à sous-estimer.

On calcule d'abord la probabilité qu'aucun ne partage sa date. Chaque nouvelle personne doit tomber sur un jour libre :

$P(\text{aucune})=\frac{365}{365}\times \frac{364}{365}\times \cdots \times \frac{343}{365}\approx 0,49$

Donc la probabilité d'au moins une coïncidence est $1-0,49=0,51$.

Avec 23 personnes, c'est déjà 51 %. Avec 30, on grimpe à 70 %. Il y a 253 paires possibles dans un groupe de 23 : voilà pourquoi la coïncidence est si fréquente.

Au départ, ta porte a $\frac{1}{3}$ de chances d'être la bonne, et les deux autres réunies $\frac{2}{3}$. Le présentateur, en éliminant une chèvre, concentre ces $\frac{2}{3}$ sur la porte restante :

$P(\text{gagner en gardant})=\frac{1}{3},P(\text{gagner en changeant})=\frac{2}{3}$

En changeant, tu gagnes 2 fois sur 3 — deux fois plus souvent qu'en restant. L'information donnée par le présentateur (il sait) change tout : c'est le cœur des probabilités conditionnelles.

Pour qu'un rectangle plié en deux garde ses proportions, il faut que le rapport longueur/largeur $x$ vérifie $\frac{x}{1}=\frac{1}{x/2}$, soit :

$x^2=2\Rightarrow x=\sqrt{2}\approx 1,414$

C'est pour ça qu'une A4 mesure $21\times 29,7$ cm : $29,7/21\approx 1,414$.

La feuille A0 fait exactement 1 m², et chaque format (A1, A2, A3, A4…) est la moitié du précédent — tout ça grâce à $\sqrt{2}$. Photocopier « A4 → A3 » agrandit pile au bon facteur.

Le nombre d'ordres possibles de $52$ cartes est $52!$ (factorielle) :

$52!=52\times 51\times \cdots \times 2\times 1\approx 8\times 10^{67}$

$8$ suivi de 67 zéros : c'est bien plus que le nombre d'atomes qui composent la Terre entière (environ $10^{50}$). Chaque battage crée, presque à coup sûr, une combinaison inédite dans l'histoire de l'humanité.

La stratégie optimale : observer sans choisir les $\frac{n}{e}$ premiers (soit environ $37\%$), puis prendre le premier suivant meilleur que tous les précédents. Le nombre $e\approx 2,718$ surgit ici naturellement :

$\frac{1}{e}\approx 0,37$

Cette méthode te donne environ 37 % de chances de choisir le meilleur — bien mieux que le hasard. On l'appelle le « problème du secrétaire », et il s'applique à bien plus que des entretiens.

Le piège vient des effectifs. Une moyenne globale n'est pas la moyenne des pourcentages : c'est une moyenne pondérée par la taille des groupes.

$\text{taux global}=\frac{\text{total gueˊris}}{\text{total traiteˊs}}\ne \text{moyenne des taux}$

Si un groupe est bien plus grand, il « tire » le total vers lui.

Deux vérités opposées à partir des mêmes données : voilà pourquoi un pourcentage sorti de son contexte peut manipuler. Toujours demander : « sur combien de personnes ? »

La dérivée mesure la vitesse de variation d'une fonction. Si $f(t)$ donne ta position au temps $t$, alors $f^{\prime }(t)$ donne ta vitesse :

$f^{\prime }(t)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$

On regarde la distance parcourue $f(t+h)-f(t)$ pendant un temps $h$ de plus en plus court, jusqu'à un "instant".

Pour trouver un maximum ou un minimum, on utilise un fait clé : au sommet d'une colline comme au fond d'un creux, la pente est horizontale. On résout donc :

$f^{\prime }(x)=0$

Exemple : pour une fonction de bénéfice $B(x)=-x^2+20x$, on a $B^{\prime }(x)=-2x+20$. En posant $B^{\prime }(x)=0$, on trouve $x=10$ : c'est la quantité qui maximise le bénéfice.

Le radar d'un véhicule estime ta vitesse instantanée en mesurant ta position toutes les quelques millisecondes : c'est une dérivée calculée des centaines de fois par seconde, sans que tu t'en rendes compte.

L'intégrale, c'est une somme de tranches infiniment fines. Si le débit du robinet est $d(t)$ (en litres par seconde), le volume total entre les instants $a$ et $b$ est :

$V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}d(t)dt$

Le symbole $\int$ est un "S" allongé pour Somme, et $dt$ représente une tranche de temps minuscule.

L'intégrale et la dérivée sont les opérations inverses l'une de l'autre (c'est le théorème fondamental). Pour calculer une intégrale, on cherche une primitive $F$ telle que $F^{\prime }=f$, puis :

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Exemple : une voiture roule à vitesse $v(t)=2t$. La distance entre $t=0$ et $t=3$ vaut $\underset{0}{\overset{3}{\int }}2tdt=[t^2{]}_0^3=9$ mètres.

Ton compteur d'eau ou d'électricité à la maison ne fait rien d'autre qu'une intégrale permanente : il accumule un débit qui change à chaque instant pour afficher un total. Sans intégrale, impossible de te facturer juste.

Le logarithme décimal $\log$ répond à la question : "10 puissance combien donne ce nombre ?"

$\log (10)=1,\log (100)=2,\log (1000)=3$

Sa propriété centrale transforme les produits en sommes :

$\log (a\times b)=\log (a)+\log (b)$

C'est ce qui explique les échelles réelles. Pour le son, le niveau en décibels vaut :

$L=10\log \left(\frac{I}{I_0}\right)$

Pour le pH, l'acidité s'écrit $\text{pH}=-\log ([{\text{H}}^{+}])$. Et pour la magnitude de Richter, passer de 6 à 8 signifie multiplier l'amplitude par $10^2=100$. À chaque +1 sur l'échelle, la réalité est multipliée par 10.

Entre un séisme de magnitude 4 (à peine ressenti) et un de magnitude 9 (dévastateur), l'amplitude est multipliée par 100 000. Le logarithme range tout ça entre deux chiffres lisibles : 4 et 9.

Montrons que $\sqrt{2}$ est irrationnel (impossible à écrire en fraction).

Supposons le contraire : $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ avec la fraction déjà simplifiée au maximum (donc $p$ et $q$ ne sont pas tous deux pairs).

En élevant au carré : $2=\frac{p^2}{q^2}$, donc $p^2=2q^2$.

Alors $p^2$ est pair, donc $p$ est pair : écrivons $p=2k$.

On remplace : $(2k{)}^2=2q^2$, soit $4k^2=2q^2$, donc $q^2=2k^2$.

Alors $q^2$ est pair, donc $q$ est pair lui aussi.

Contradiction ! $p$ et $q$ sont tous les deux pairs, alors qu'on avait supposé la fraction simplifiée. L'hypothèse de départ est donc fausse :

$\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$

$\sqrt{2}\approx 1,41421356\dots$ : ses décimales ne s'arrêtent jamais et ne se répètent jamais. Le raisonnement par l'absurde le prouve en 6 lignes, là où aucun calcul, même infini, ne le pourrait.

Une probabilité est un nombre entre $0$ (impossible) et $1$ (certain) :

$0\le P(A)\le 1$

Le vrai outil, c'est l'espérance : la valeur moyenne sur un grand nombre d'essais. C'est elle qui permet à un assureur, un casino ou un médecin de décider rationnellement face au hasard.

Quand la météo annonce « 70 % de pluie », qu'un test est « fiable à 99 % » ou qu'une IA « pense à 92 % que c'est un chat », tu lis des probabilités. Les ignorer, c'est se faire piéger par le hasard.

Le cercle trigonométrique relie un angle à deux longueurs :

${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$

Et surtout, $\sin$ et $\cos$ décrivent tout ce qui oscille : $f(t)=A\sin (2\pi ft)$ modélise un son, un courant électrique, une vague, une vibration.

Ton téléphone calcule des sinus des milliers de fois par seconde : pour te localiser, jouer un son, afficher une rotation 3D. Sans trigonométrie, pas de GPS ni de musique numérique.

Un complexe $z=a+bi$ encode d'un coup une amplitude et une phase — exactement ce qu'il faut pour décrire une onde ou un courant alternatif :

$z=r{e}^{i\theta }=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

Multiplier par $e^{i\theta }$, c'est faire tourner : les complexes transforment des calculs d'ondes compliqués en simples multiplications.

Toute l'électricité de ta maison (courant alternatif, impédance) se calcule avec des complexes. Le traitement du son, l'imagerie, la 5G, la physique quantique : tous reposent sur ce nombre « imaginaire ».

Un vecteur $\vec{v}=(x,y)$ encode une direction et une longueur d'un seul coup. Et on peut les additionner pour combiner des effets :

${\vec{v}}_1+{\vec{v}}_2=(x_1+x_2,y_1+y_2)$

C'est ainsi qu'on calcule la trajectoire d'un avion dans le vent, ou le mouvement d'un personnage de jeu vidéo.

GPS, physique, jeux 3D, animation, robotique : tout ce qui bouge dans l'espace se calcule avec des vecteurs. Sans eux, aucune image de synthèse ne serait possible.

On note $f(x)$ la valeur de sortie quand l'entrée vaut $x$ :

$x⟼f(x)$

Étudier une fonction (croissance, maximum, limite), c'est comprendre et prévoir comment une grandeur réagit quand une autre change.

Météo, économie, médecine, IA : tout modèle qui prédit quelque chose est une fonction. C'est le langage universel pour décrire un monde où tout dépend de tout.

Une suite $(u_n)$ décrit une valeur à chaque étape $n$, souvent en reliant un terme au précédent :

$u_{n+1}=f(u_n)$

On peut alors prévoir le terme lointain, savoir si ça grandit, se stabilise ou explose — sans tout calculer un par un.

Intérêts composés, croissance de population, remboursement de prêt, suites d'un programme : dès que le temps avance par étapes, ce sont les suites qui décrivent la suite des événements.

Une seule valeur ne suffit jamais. La moyenne $\bar{x}$ résume, mais la médiane et l'écart-type $\sigma$ racontent ce qu'elle cache :

$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$

Un « salaire moyen » élevé peut cacher que la moitié des gens gagnent bien moins : la médiane le révèle.

Comprendre les statistiques, c'est arrêter de se faire avoir par un graphique tronqué, un sondage biaisé ou une moyenne trompeuse. C'est peut-être la partie la plus utile des maths dans la vie de tous les jours.