📈 الدالة الأسية سؤال على 5 نقطة

دراسة دالة أسّية (شعبة العلوم الاقتصادية)

النهاية، المشتقة، الإشارة والقيمة القصوى لدالة أسّية في سياق اقتصادي (باكالوريا العلوم الاقتصادية).

📋 نص السؤال

تُنمذج مؤسسة عدد الوحدات المباعة من منتوج، بالآلاف، بدلالة الزمن $t$ (بالسنوات) منذ إطلاقه بالدالة $g$ المعرفة على $[0; + \infty [$ بـ: $g (t) = (2 t - 1) e^{- t} + 1$ .

احسب $t \to + \infty lim g (t)$ . استنتج تأويلًا اقتصاديًا لهذه النتيجة.
بيّن أنه لكل $t \in [0; + \infty [$ : $g^{'} (t) = (3 - 2 t) e^{- t}$ .
ادرس إشارة $g^{'} (t)$ على $[0; + \infty [$ ، ثم ضع جدول تغيرات $g$ .
استنتج القيمة القصوى لعدد الوحدات المباعة، مقرَّبةً إلى الألف، وحدّد التاريخ الذي تُبلَغ فيه.

🔍 سلم التنقيط، سطرًا بسطر أين تذهب كل نقطة

1

حساب النهاية: $t \to + \infty lim (2 t - 1) e^{- t} = 0$ (نمو مقارَن) إذن $t \to + \infty lim g (t) = 1$
+0,5

💡 النمو المقارَن $t e^{- t} \to 0$ هو الحجة المنتظَرة: بدونها تبقى الصيغة غير محددة.
2

التأويل الاقتصادي: تستقر المبيعات حول $1$ ألف وحدة على المدى البعيد (خط مقارب أفقي $y = 1$ )
+0,75

💡 يشترط المصحح الترجمة الملموسة للنتيجة الرياضية في سياق النص، وليس فقط النهاية الخام.
3

مشتقة الجداء: $g = u \cdot v$ مع $u (t) = 2 t - 1$ ، $v (t) = e^{- t}$ ، إذن $u^{'} (t) = 2$ و $v^{'} (t) = - e^{- t}$
+0,5

💡 تحديد $u$ و $u^{'}$ و $v$ و $v^{'}$ صراحةً قبل تطبيق الصيغة يؤمّن النقطة حتى لو انحرف الباقي.
4

الحساب والتعميل: $g^{'} (t) = 2 e^{- t} + (2 t - 1) (- e^{- t}) = e^{- t} (2 - (2 t - 1)) = (3 - 2 t) e^{- t}$
+0,75

💡 التعميل بـ $e^{- t}$ إلى الصورة المطلوبة من النص هو جوهر السؤال؛ نتيجة غير مبسَّطة تفقد نصف النقطة.
5

إشارة $g^{'} (t)$ : بما أن $e^{- t} > 0$ لكل $t$ ، فإشارة $g^{'} (t)$ هي إشارة $3 - 2 t$ ؛ إذن $g^{'} (t) > 0$ على $[0; \frac{3}{2} [$ و $g^{'} (t) < 0$ على $] \frac{3}{2}; + \infty [$
+0,5

💡 تبرير أن العامل الأسّي موجب قطعًا دائمًا هو الجملة المفتاحية التي تُرجع الدراسة إلى إشارة $3 - 2 t$ .
6

جدول التغيرات: $g$ تزايدية على $[0; \frac{3}{2}]$ ، تناقصية على $[\frac{3}{2}; + \infty [$ ، مع $g (0) = 0$ ونهاية $1$ في $+ \infty$
+0,5

💡 يجب أن يُظهر الجدول القيمة عند $0$ ، والنهاية عند $+ \infty$ ، وأسهمًا منسجمة مع الإشارة الموجودة.
7

حساب القيمة القصوى: $g (\frac{3}{2}) = (2 \times \frac{3}{2} - 1) e^{- 3/2} + 1 = 2 e^{- 3/2} + 1 \approx 1, 446$
+0,75

💡 الحساب الدقيق للقيمة القصوى، وليس فقط موقعها، هو ما يُكسب النقطة؛ الخطأ الشائع هو نسيان « $+ 1$ » في النهاية.
8

الاستنتاج الاقتصادي: القيمة القصوى حوالي $1, 446$ ألف وحدة (أي حوالي $1446$ وحدة) تُبلَغ عند $t = \frac{3}{2}$ سنة، أي $18$ شهرًا بعد الإطلاق
+0,75

💡 يجب إعادة صياغة الجواب ضمن السياق (وحدات مباعة، تاريخ بالأشهر): قيمة رياضية وحدها دون تأويل لا تُغلق السؤال.

مجموع نقط السؤال 5 نقطة

🪙 عالق؟ إليك كيف تقتنص النقط

حتى وإن توقفت في الطريق، عدة نقط تبقى في متناولك:

ضع دائمًا $t \to + \infty lim t e^{- t} = 0$ قبل الاستنتاج: إنه السطر الأكثر حصولًا على النقط في السؤال 1.
لمشتقة جداء، اكتب $u$ ، $u^{'}$ ، $v$ ، $v^{'}$ منفصلة قبل الدمج: هذه التحديدات تُنقَّط بمعزل عن النتيجة النهائية.
ذكّر صراحةً بأن $e^{- t} > 0$ لكل $t$ : هذه الجملة وحدها تبرر كل إشارة $g^{'}$ دون حساب إضافي.
لا تنسَ أبدًا « $+ 1$ » عند حساب $g (\frac{3}{2})$ : إنه الخطأ العددي الأكثر شيوعًا في هذا النوع من التمارين.
جملة تأويل اقتصادي (مبيعات، وحدات، مدة) مطلوبة بشكل منفصل عن الحساب: تساوي نقطتها الخاصة.

✍️ الجواب نفسه: تحرير سيّئ ثم جيّد

نسخة متسرعة: « $g (t) \to 1$ ، $g^{'} (t) = (3 - 2 t) e^{- t}$ ، القيمة القصوى عند $t = \frac{3}{2}$ .» لا تأويل اقتصادي، مشتقة معطاة دون مراحل $u, u^{'}, v, v^{'}$ ، قيمة القصوى غير محسوبة: يضيع أكثر من نصف النقط رغم نتيجة نهائية صحيحة.

نسخة كاملة: $t \to + \infty lim (2 t - 1) e^{- t} = 0$ إذن $g (t) \to 1$ ، ما يعني أن المبيعات تستقر حول $1$ ألف وحدة؛ بـ $u = 2 t - 1$ ، $v = e^{- t}$ ، نحصل على $g^{'} (t) = 2 e^{- t} - (2 t - 1) e^{- t} = (3 - 2 t) e^{- t}$ ؛ بما أن $e^{- t} > 0$ ، فالإشارة هي إشارة $3 - 2 t$ ، ومنه $g$ تزايدية ثم تناقصية بقيمة قصوى عند $t = \frac{3}{2}$ ؛ $g (\frac{3}{2}) = 2 e^{- 3/2} + 1 \approx 1, 446$ ، أي حوالي $1446$ وحدة مباعة بعد $18$ شهرًا من الإطلاق. كل مرحلة مبررة ومؤوَّلة تمنح نقطتها.

🕵️

تدرّب على رصد ما يُكلّفك نقطًا

هل ستكتشف الخطأ الذي يُضيّع النقط في تصحيح ما؟ ← جد الخطأ

←

💹 ربح مؤسسة: المشتقة، جدول التغيرات، الأمثلة

→ السابق

📈 متتالية رقم معاملات مؤسسة

سلالم تنقيط أخرى مُفكَّكة

🔢 المتتاليات

برهان بالاستدلال بالترجع

📈 التحليل

إثبات أن معادلة تقبل حلا وحيدا (مبرهنة القيم الوسيطية)

📉 المتتاليات

إثبات تقارب متتالية تراجعية

📊 شاهد كل سلالم التنقيط المُفكَّكة ←