🛒 الاحتمالات سؤال على 4 نقطة

الاحتمالات: رضا الزبناء والقانون ذو الحدين

شجرة مرجّحة، احتمالات تامة ثم قانون ذو الحدين على عينة من الزبناء: أين تذهب النقط في تمرين اقتصادي.

📋 نص السؤال

تسوّق مؤسسة منتوجًا عبر قناتي توزيع: المتاجر الفعلية (الحدث $M$ ) والبيع عبر الإنترنت (الحدث $L$ ). تُظهر دراسة أن $60%$ من المبيعات تتم في المتاجر والباقي عبر الإنترنت. من بين الزبناء الذين اشتروا في المتجر، $90%$ يصرّحون بالرضا؛ ومن بين الذين اشتروا عبر الإنترنت، $65%$ يصرّحون بالرضا. نرمز بـ $S$ للحدث «الزبون راضٍ».

نختار زبونًا عشوائيًا من بين جميع مشتري المنتوج.

1) مثّل الوضعية بشجرة مرجّحة، ثم احسب $p (M \cap S)$ و $p (L \cap S)$ .

2) بيّن، باستعمال صيغة الاحتمالات التامة، أن $p (S) = 0, 8$ .

3) نستجوب $3$ زبناء عشوائيًا، بشكل مستقل (تعداد الزبناء كبير جدًا). لتكن $X$ المتغيرة العشوائية المساوية لعدد الزبناء الراضين من بين الـ $3$ المستجوَبين.

أ) بيّن أن $X$ تتبع قانونًا ذا حدين وحدّد وسيطيه.

ب) احسب الاحتمال $p (X \geq 2)$ أن تكون غالبية الزبناء المستجوَبين راضين.

🔍 سلم التنقيط، سطرًا بسطر أين تذهب كل نقطة

1

نضع $p (M) = 0, 6$ و $p (L) = 0, 4$ ، ثم نضع على الأغصان المنطلقة من $M$ و $L$ : $p_{M} (S) = 0, 9$ و $p_{L} (S) = 0, 65$ .
+0,5

💡 ترجمة النسب المئوية في النص إلى احتمالات واحتمالات شرطية بشكل صحيح هو أول ما يتحقق منه المصحح، قبل أي حساب.
2

نحسب $p (M \cap S) = p (M) \times p_{M} (S) = 0, 6 \times 0, 9 = 0, 54$ و $p (L \cap S) = p (L) \times p_{L} (S) = 0, 4 \times 0, 65 = 0, 26$ .
+0,5

💡 وضع صيغة التقاطع قبل التطبيق العددي، لكلا الغصنين، يؤمّن هذه النقطة حتى في حال وقع خطأ حسابي بعدها.
3

نصرّح بصيغة الاحتمالات التامة: $p (S) = p (M \cap S) + p (L \cap S)$ ، لأن ${M, L}$ يشكّل تجزئة للكون.
+0,5

💡 ذكر صيغة الاحتمالات التامة صراحةً، مع تبرير التجزئة، يُظهر التحكم في المنهجية بمعزل عن النتيجة النهائية.
4

نحسب: $p (S) = 0, 54 + 0, 26 = 0, 8$ .
+0,5

💡 الحساب المفضي إلى القيمة المنتظرة $p (S) = 0, 8$ يُغلق السؤال 2 بشكل سليم.
5

نحدّد تجربة برنولي المكررة: استجواب زبون عشوائيًا هو تجربة ذات نتيجتين، «راضٍ» (نجاح، $p = 0, 8$ ) أو «غير راضٍ» (فشل).
+0,5

💡 تسمية النجاح واحتماله صراحةً هي نقطة الانطلاق الإجبارية لتبرير قانون ذي حدين.
6

نبرر التكرار المطابق والاستقلالية: يُستجوَب الـ $3$ زبناء في نفس الظروف وباستقلالية عن بعضهم البعض (تعداد كبير جدًا).
+0,5

💡 بدون هذا التبرير للاستقلالية وثبات $p$ ، لا يكون القانون ذو الحدين مثبتًا بشكل صحيح: إنها نقطة قائمة بذاتها.
7

الخلاصة: $X$ تتبع القانون ذا الحدين $B (3; 0, 8)$ .
+0,5

💡 تحديد الوسيطين $n = 3$ و $p = 0, 8$ هو الجواب المنتظَر صراحةً للسؤال 3أ.
8

نحسب $p (X \geq 2) = p (X = 2) + p (X = 3)$ مع $p (X = 2) = (2 3) \times 0, 8^{2} \times 0, 2 = 3 \times 0, 64 \times 0, 2 = 0, 384$ و $p (X = 3) = 0, 8^{3} = 0, 512$ ، إذن $p (X \geq 2) = 0, 384 + 0, 512 = 0, 896$ .
+0,5

💡 الانتقال بالمتمم أو بجمع حالتي $X = 2$ و $X = 3$ مباشرة، مع وضع الصيغة $p (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ قبل الحساب، يُركّز النقطة الأخيرة للسؤال.

مجموع نقط السؤال 4 نقطة

🪙 عالق؟ إليك كيف تقتنص النقط

حتى وإن توقفت في الطريق، تبقى عدة نقط في متناولك:

ارسم الشجرة المرجّحة الكاملة منذ البداية: ترجمة النسب المئوية إلى $p (M)$ ، $p (L)$ ، $p_{M} (S)$ ، $p_{L} (S)$ تمنح نقطًا دون أدنى حساب.
اكتب صيغة الاحتمالات التامة $p (S) = p (M \cap S) + p (L \cap S)$ قبل إجراء الحساب العددي: تُنقَّط حتى لو أخطأت بعد ذلك في الجمع.
بالنسبة للسؤال 3أ، اذكر الشرطين الاثنين للقانون ذي الحدين (تجربة برنولي ذات نتيجتين + تكرارات مطابقة ومستقلة): هذه الكلمات المفتاحية تساوي نقطة بحد ذاتها، حتى قبل كتابة $B (3; 0, 8)$ .
ضع دائمًا الصيغة العامة $p (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ قبل حساب $p (X = 2)$ و $p (X = 3)$ : الصيغة الموضوعة تُثمَّن حتى لو كانت النتيجة العددية النهائية خاطئة.

✍️ الجواب نفسه: تحرير سيّئ ثم جيّد

نسخة متسرعة: « $p (S) = 0, 6 \times 0, 9 + 0, 4 \times 0, 65 = 0, 8$ . $X$ تتبع $B (3; 0, 8)$ لأنه تكرار. $p (X \geq 2) = 0, 896$ .» النتائج صحيحة، لكن لا شيء مبرَّر: لا صيغة الاحتمالات التامة، ولا شرطا القانون ذي الحدين، ولا صيغة $p (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ قبل الحساب. لا يرى المصحح سوى أرقام هبطت من السماء ويقتطع قرابة نصف النقط رغم صحة الأجوبة.

نسخة كاملة: نضع الشجرة بـ $p (M) = 0, 6$ ، $p (L) = 0, 4$ ، $p_{M} (S) = 0, 9$ ، $p_{L} (S) = 0, 65$ ؛ نحسب $p (M \cap S) = 0, 54$ و $p (L \cap S) = 0, 26$ ؛ نصرّح « ${M, L}$ يجزّئ الكون إذن $p (S) = p (M \cap S) + p (L \cap S) = 0, 8$ »؛ نبرر تجربة برنولي ( $p = 0, 8$ ) المكررة $3$ مرات بشكل مطابق ومستقل، إذن $X \sim B (3; 0, 8)$ ؛ وأخيرًا نضع الصيغة $p (X = k) = (k 3) \times 0, 8^{k} \times 0, 2^{3 - k}$ قبل حساب $p (X = 2) = 0, 384$ و $p (X = 3) = 0, 512$ ، لنستنتج $p (X \geq 2) = 0, 896$ . كل جملة مفتاحية تُفعّل نقطتها.

🕵️

تدرّب على رصد ما يُكلّفك نقطًا

هل ستكتشف الخطأ الذي يُضيّع النقط في تصحيح ما؟ ← جد الخطأ

←

📈 متتالية رقم معاملات مؤسسة

→ السابق

💰 توظيف بفائدة مركبة: متتالية هندسية وعتبة

سلالم تنقيط أخرى مُفكَّكة

🔢 المتتاليات

برهان بالاستدلال بالترجع

📈 التحليل

إثبات أن معادلة تقبل حلا وحيدا (مبرهنة القيم الوسيطية)

📉 المتتاليات

إثبات تقارب متتالية تراجعية

📊 شاهد كل سلالم التنقيط المُفكَّكة ←