💰 الرياضيات المالية سؤال على 4 نقطة

توظيف بفائدة مركبة: متتالية هندسية وعتبة

أين تذهب النقط في باكالوريا العلوم الاقتصادية: التعرف على المتتالية الهندسية لتوظيف مالي، حساب القيمة المكتسبة وحل العتبة باستعمال اللوغاريتم.

📋 نص السؤال

يوظّف مدّخر رأس مال قدره $15000$ درهم في حساب مأجور بمعدل سنوي قدره $6%$ ، بفائدة مركبة. نرمز بـ $u_{n}$ للقيمة المكتسبة لهذا الرأسمال بعد $n$ سنة من التوظيف، مع $u_{0} = 15000$ .

1) بيّن أن $(u_{n})$ متتالية هندسية سنحدد أساسها $q$ وحدّها الأول $u_{0}$ . عبّر عن $u_{n}$ بدلالة $n$ .

2) احسب $u_{5}$ ، القيمة المكتسبة لرأس المال بعد $5$ سنوات (قرّب إلى السنتيم).

3) حدّد، بحل متراجحة، أصغر عدد صحيح $n$ الذي يتجاوز عنده رأس المال الموظَّف $25000$ درهم.

🔍 سلم التنقيط، سطرًا بسطر أين تذهب كل نقطة

1

في كل سنة، يُضرب رأس المال في $1 + 0, 06 = 1, 06$ ، إذن $u_{n + 1} = 1, 06 u_{n}$ لكل $n \in N$ .
+0,5

💡 ترجمة آلية الفائدة المركبة بعلاقة الترجع $u_{n + 1} = q u_{n}$ هي الحجة التي تبرر الطابع الهندسي: تُنقّط قبل حتى الاستنتاج.
2

نستنتج أن $(u_{n})$ متتالية هندسية أساسها $q = 1, 06$ وحدّها الأول $u_{0} = 15000$ .
+0,5

💡 تسمية «متتالية هندسية» صراحةً وإعطاء $q$ و $u_{0}$ معًا هو الاستنتاج المنتظَر للسؤال 1، يُنقّط بمعزل عن علاقة الترجع.
3

لكل $n \in N$ ، $u_{n} = u_{0} \times q^{n} = 15000 \times 1, 0 6^{n}$ .
+0,5

💡 التعبير عن الحد العام بدلالة $n$ ، بتطبيق صحيح لصيغة الدرس، يمنح نقطة مستقلة عن الحساب العددي الذي يليها.
4

التطبيق العددي: $u_{5} = 15000 \times 1, 0 6^{5}$ .
+0,25

💡 وضع الحساب قبل إتمامه إلى النهاية يُثمَّن: يرى المصحح أن صيغة السؤال 1 استُعملت بشكل صحيح.
5

$1, 0 6^{5} \approx 1, 338226$ ، إذن $u_{5} \approx 20073, 38$ درهم.
+0,75

💡 النتيجة العددية النهائية، المنسجمة مع الصيغة الموضوعة والمقرَّبة بشكل صحيح إلى السنتيم، تُصادق كليًا على السؤال 2.
6

نضع المتراجحة $15000 \times 1, 0 6^{n} > 25000$ ، أي $1, 0 6^{n} > \frac{5}{3}$ .
+0,5

💡 ترجمة «يتجاوز $25000$ درهم» بالمتراجحة الدقيقة، ثم عزل $1, 0 6^{n}$ ، هي الإعداد المنتظَر قبل أي انتقال إلى اللوغاريتم.
7

بتطبيق اللوغاريتم النبيري (تزايدي على $] 0; + \infty [$ ) على الطرفين: $n ln (1, 06) > ln (\frac{5}{3})$ ، ثم $n > \frac{ln ( \frac{5}{3} )}{ln ( 1 , 06 )}$ لأن $ln (1, 06) > 0$ .
+0,75

💡 تبرير أن $ln (1, 06) > 0$ حتى لا يتغيّر معنى المتراجحة مُنقَّط صراحةً: إنه الفخ الكلاسيكي لهذا النوع من الأسئلة.
8

$\frac{ln ( 5/3 )}{ln ( 1 , 06 )} \approx 8, 77$ ، إذن أصغر عدد صحيح مناسب هو $n = 9$ : ابتداءً من السنة $9$ يتجاوز رأس المال $25000$ درهم.
+0,25

💡 التقريب إلى العدد الصحيح الأكبر (وليس البتر) ثم الخلاصة بجملة كاملة هي اللمسة الأخيرة التي تُغلق السؤال 3.

مجموع نقط السؤال 4 نقطة

🪙 عالق؟ إليك كيف تقتنص النقط

يتفرّع هذا التمرين إلى كتل مستقلة: حتى وإن توقفت عند اللوغاريتم الأخير، يمكنك حصد جل النقط قبله.

اكتب دائمًا العلاقة $u_{n + 1} = 1, 06 u_{n}$ قبل الاستنتاج «متتالية هندسية»: هذه الجملة هي التي تبرر طبيعة المتتالية، وليس مجرد التأكيد وحده.
الصيغة $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ تمنح نقطة بحد ذاتها، حتى لو أخطأت بعد ذلك في حساب $1, 0 6^{5}$ .
بالنسبة للمتراجحة، ضع أولًا $1, 0 6^{n} > \frac{5}{3}$ قبل الانتقال إلى اللوغاريتم: هذه المرحلة من الإعداد تُنقَّط بشكل منفصل.
لا تنسَ أبدًا التصريح بأن « $ln (1, 06) > 0$ إذن يبقى معنى المتراجحة محفوظًا»: هذه هي الكلمة المفتاحية التي يبحث عنها المصحح ليصادق على الانتقال إلى اللوغاريتم.
قرّب $8, 77$ إلى العدد الصحيح الأكبر ( $n = 9$ )، وليس إلى الأقرب أبدًا: الخلاصة $n = 8$ أو $n = 8, 77$ تُفقد النقطة الأخيرة.

✍️ الجواب نفسه: تحرير سيّئ ثم جيّد

نسخة متسرعة: « $(u_{n})$ هندسية أساسها $1, 06$ . $u_{5} \approx 20073$ . $1, 0 6^{n} > 5/3$ إذن $n \approx 8, 77$ ، إذن $n = 8$ .» لم تُكتب علاقة الترجع أبدًا، ولم يُبرَّر التقريب، والعدد الصحيح النهائي خاطئ (كان يجب التقريب للأعلى، لا البتر): يضيع أكثر من نصف النقط رغم مسعى صحيح إجمالًا.

نسخة كاملة: نكتب $u_{n + 1} = 1, 06 u_{n}$ ، نستنتج «متتالية هندسية أساسها $q = 1, 06$ وحدّها الأول $u_{0} = 15000$ »، ثم $u_{n} = 15000 \times 1, 0 6^{n}$ ؛ نحسب $u_{5} \approx 20073, 38$ درهم؛ نضع $15000 \times 1, 0 6^{n} > 25000$ ، أي $1, 0 6^{n} > \frac{5}{3}$ ، نبرر $ln (1, 06) > 0$ قبل الانتقال إلى اللوغاريتم، نجد $n > 8, 77$ ونستنتج بدقة $n = 9$ . كل «إذن» مكتوبة تقابل نقطة مكتسبة.

🕵️

تدرّب على رصد ما يُكلّفك نقطًا

هل ستكتشف الخطأ الذي يُضيّع النقط في تصحيح ما؟ ← جد الخطأ

←

🛒 الاحتمالات: رضا الزبناء والقانون ذو الحدين

→ السابق

🎲 الاحتمالات : القانون الثنائي (علوم تجريبية)

سلالم تنقيط أخرى مُفكَّكة

🔢 المتتاليات

برهان بالاستدلال بالترجع

📈 التحليل

إثبات أن معادلة تقبل حلا وحيدا (مبرهنة القيم الوسيطية)

📉 المتتاليات

إثبات تقارب متتالية تراجعية

📊 شاهد كل سلالم التنقيط المُفكَّكة ←