💹 الاشتقاق والدوال الاقتصادية سؤال على 5 نقطة

ربح مؤسسة: المشتقة، جدول التغيرات، الأمثلة

باكالوريا العلوم الاقتصادية: المشتقة، الإشارة، جدول التغيرات ثم الكمية المثلى — أين تذهب النقط مرحلة بمرحلة.

📋 نص السؤال

تصنّع مؤسسة منتوجًا بكمية $q$ (معبَّرًا عنها بمئات الوحدات، $q \in [0; 6]$ ). يُنمذَج ربحها، معبَّرًا عنه بآلاف الدراهم، بالدالة $B$ المعرفة على $[0; 6]$ بـ: $B (q) = - q^{3} + 9 q^{2} - 15 q - 5$ .

احسب $B^{'} (q)$ لكل $q \in [0; 6]$ ، ثم تحقق أن $B^{'} (q) = - 3 (q - 1) (q - 5)$ .
ادرس إشارة $B^{'} (q)$ على $[0; 6]$ وضع جدول تغيرات $B$ .
بيّن أن ربح المؤسسة أقصى ما يكون عند إنتاج $500$ وحدة، واحسب هذا الربح الأقصى.

🔍 سلم التنقيط، سطرًا بسطر أين تذهب كل نقطة

1

حساب المشتقة: $B^{'} (q) = - 3 q^{2} + 18 q - 15$ .
+0,5

💡 الاشتقاق حدًا بحد ( $- q^{3} \to - 3 q^{2}$ ، $9 q^{2} \to 18 q$ ، $- 15 q \to - 15$ ، الثابت $\to 0$ ) هو نقطة الانطلاق الإجبارية، تُنقَّط حتى لو فشل الباقي.
2

التعميل المتحقَّق منه: $- 3 (q - 1) (q - 5) = - 3 (q^{2} - 6 q + 5) = - 3 q^{2} + 18 q - 15 = B^{'} (q)$ .
+0,5

💡 يطلب النص التحقق من الصورة المعمَّلة: تطويرها والحصول بالضبط على $B^{'} (q)$ يثبت المساواة، وليس مجرد ملاحظة زخرفية.
3

دراسة الإشارة: على $[0; 6]$ ، $- 3 < 0$ ، إذن $B^{'} (q)$ من إشارة $- (q - 1) (q - 5)$ ؛ نستنتج $B^{'} (q) < 0$ على $[0; 1 [$ ، $B^{'} (q) > 0$ على $] 1; 5 [$ و $B^{'} (q) < 0$ على $] 5; 6]$ .
+1

💡 إشارة جداء عاملين تآلفيين مضروب في ثابت سالب هي النقطة التقنية للسؤال؛ يريد المصحح رؤية الاستدلال على كل مجال، لا مجرد النتيجة النهائية.
4

القيم عند النقط المفتاحية: $B (0) = - 5$ ، $B (1) = - 1 + 9 - 15 - 5 = - 12$ ، $B (5) = - 125 + 225 - 75 - 5 = 20$ ، $B (6) = - 216 + 324 - 90 - 5 = 13$ .
+1

💡 كل قيمة عددية صحيحة من الجدول تُنقَّط بشكل منفصل؛ خطأ واحد لا يفقد سوى السطر المعني، لا الجدول بأكمله.
5

جدول تغيرات كامل: $B$ تناقصية على $[0; 1]$ (من $- 5$ إلى $- 12$ )، تزايدية على $[1; 5]$ (من $- 12$ إلى $20$ )، تناقصية على $[5; 6]$ (من $20$ إلى $13$ ).
+0,5

💡 يجب أن يكون الجدول منسجمًا مع إشارة $B^{'}$ الموجودة قبله مباشرة: أسهم وقيم متطابقة، وإلا لا يمكن للمصحح التصديق عليه.
6

مقارنة القيم المرشَّحة للقيمة القصوى: $B (5) = 20$ أكبر من $B (0) = - 5$ ومن $B (6) = 13$ ، وهما القيمتان الأخريان الوحيدتان الواجب اعتبارهما (طرف المجال والحد الأدنى المحلي).
+0,5

💡 على مجال مغلق، تُحصَل القيمة القصوى المطلقة بمقارنة كل القيم المرشَّحة (القيمة الحدية المحلية والحدود)؛ نسيان ذلك يُفقد الصفة «المطلقة» للقيمة القصوى.
7

الاستنتاج: تبلغ $B$ قيمتها القصوى على $[0; 6]$ عند $q = 5$ ، إذن عند $q = 5$ مئات الوحدات، أي $500$ وحدة منتَجة.
+0,5

💡 تحويل وحدة $q$ (مئات) إلى عدد الوحدات الفعلي مطلوب صراحةً من النص: نسيانه يفقد النقطة حتى بحساب صحيح.
8

الربح الأقصى: $B (5) = 20$ ، أي ربح أقصى قدره $20000$ درهم.
+0,5

💡 التحويل النهائي إلى دراهم (آلاف الدراهم إلى الدراهم) هي جملة الخلاصة الاقتصادية المنتظَرة، لا تنفصل عن النتيجة الرياضية.

مجموع نقط السؤال 5 نقطة

🪙 عالق؟ إليك كيف تقتنص النقط

حتى وإن توقفت عند إشارة $B^{'}$ ، عدة نقط تبقى في متناولك بمعزل عنها:

المشتقة تُحسب حدًا بحد دون فخ: $B^{'} (q) = - 3 q^{2} + 18 q - 15$ نقطة مضمونة، حتى لو لم تُعمِّل بعدها.
التحقق من التعميل لا يتطلب أي إلهام: طوّر $- 3 (q - 1) (q - 5)$ وقارن بالنتيجة السابقة، إنها نقطة آلية.
قيم الجدول ( $B (0)$ ، $B (1)$ ، $B (5)$ ، $B (6)$ ) تُنقَّط واحدة تلو الأخرى: احسبها كلها حتى لو شككت في إشارة $B^{'}$ ، كل قيمة صحيحة تُكسب نقطة.
لا تنسَ أبدًا تحويل الوحدة: $q = 5$ يقابل $500$ وحدة (مئات)، و $B (5) = 20$ يقابل $20000$ درهم (آلاف). جملتا خلاصة، نقطتان منفصلتان.

✍️ الجواب نفسه: تحرير سيّئ ثم جيّد

نسخة متسرعة: « $B^{'} (q) = - 3 q^{2} + 18 q - 15 = - 3 (q - 1) (q - 5)$ ، موجبة بين $1$ و $5$ ، إذن القيمة القصوى عند $q = 5$ ، $B (5) = 20$ .» لا يرى المصحح لا التحقق من التعميل بالتطوير، ولا المقارنة مع الحدين $B (0)$ و $B (6)$ ، ولا التحويل إلى وحدات فعلية ودراهم: يضيع قرابة نصف النقط رغم نتيجة نهائية صحيحة.

نسخة كاملة: نحسب $B^{'} (q) = - 3 q^{2} + 18 q - 15$ ، نطوّر $- 3 (q - 1) (q - 5) = - 3 q^{2} + 18 q - 15$ للتحقق من المساواة، ندرس الإشارة على كل مجال ( $- 3 < 0$ ، إشارة معاكسة لـ $(q - 1) (q - 5)$ )، نضع الجدول بالقيم الأربع $B (0) = - 5$ ، $B (1) = - 12$ ، $B (5) = 20$ ، $B (6) = 13$ ، نقارن $B (5) = 20$ بالحدود لنستنتج القيمة القصوى المطلقة، ثم نترجم: $q = 5$ يقابل $500$ وحدة و $B (5) = 20$ يقابل $20000$ درهم من الربح الأقصى. كل مرحلة مُحرَّرة هي مرحلة مُنقَّطة.

🕵️

تدرّب على رصد ما يُكلّفك نقطًا

هل ستكتشف الخطأ الذي يُضيّع النقط في تصحيح ما؟ ← جد الخطأ

←

∫ التكلفة الإجمالية انطلاقًا من التكلفة الحدية (حساب تكاملي)

→ السابق

📈 دراسة دالة أسّية (شعبة العلوم الاقتصادية)

سلالم تنقيط أخرى مُفكَّكة

🔢 المتتاليات

برهان بالاستدلال بالترجع

📈 التحليل

إثبات أن معادلة تقبل حلا وحيدا (مبرهنة القيم الوسيطية)

📉 المتتاليات

إثبات تقارب متتالية تراجعية

📊 شاهد كل سلالم التنقيط المُفكَّكة ←