التكلفة الإجمالية انطلاقًا من التكلفة الحدية (حساب تكاملي)

تصنّع مؤسسة منتوجًا بكمية $x$ (بمئات الوحدات)، $x\in [0;100]$. تُعطى التكلفة الحدية للإنتاج، معبَّرًا عنها بآلاف الدراهم، بـ: $Cm(x)=0,003x^2-0,6x+40$.

التكلفة الثابتة للمؤسسة هي $CF=500$ (بآلاف الدراهم).

1. حدّد دالة التكلفة الإجمالية $CT$ علمًا أن $CT$ دالة أصلية لـ $Cm$ تحقق $CT(0)=CF$.
2. احسب $CT(100)$، التكلفة الإجمالية لإنتاج $100$ مئة وحدة.
3. احسب $\underset{0}{\overset{100}{\int }}Cm(x)dx$ وأوّل هذه النتيجة من حيث التكلفة.
4. احسب القيمة المتوسطة لـ $Cm$ على $[0;100]$ وأوّل النتيجة.

حتى دون إتمام التمرين بأكمله، عدة نقط تُحصَد بسهولة:

• اكتب فورًا الدالة الأصلية العامة $CT(x)=0,001x^3-0,3x^2+40x+k$: إنها نقطة مكتسبة حتى وإن توقفت عند الثابت.
• لا تنسَ أبدًا الشرط $CT(0)=CF$: هو الذي يعطي $k=500$، ردّة فعل اقتصادية بسيطة لكن غالبًا ما تُهمَل.
• ضع الصيغة $\underset{0}{\overset{100}{\int }}Cm(x)dx=CT(100)-CT(0)$ حتى دون إعادة الحساب: الرابط بين الدالة الأصلية والتكامل يُنقَّط بحد ذاته.
• بالنسبة للقيمة المتوسطة، الصيغة $\overline{Cm}=\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}Cm(x)dx$ تمنح نقطة حتى لو فشل الحساب العددي.

نسخة متسرعة: «$CT(x)=0,001x^3-0,3x^2+40x+500$، $CT(100)=2500$، التكامل يساوي $2000$ والمتوسط $20$.» النتائج صحيحة لكن لا شيء مبرَّر: لا ذكر للدالة الأصلية، لا استغلال صريح لـ $CT(0)=CF$، لا صيغة القيمة المتوسطة، لا تأويل اقتصادي. لا يمكن للمصحح تثمين إلا الأرقام النهائية، لا المنهجية.

نسخة كاملة: نضع «$CT$ دالة أصلية لـ $Cm$ إذن $CT(x)=0,001x^3-0,3x^2+40x+k$»؛ نستعمل «$CT(0)=CF=500$ إذن $k=500$»؛ نحسب $CT(100)=1000-3000+4000+500=2500$؛ نكتب «$\underset{0}{\overset{100}{\int }}Cm(x)dx=CT(100)-CT(0)=2500-500=2000$، وهو ما يمثل التكلفة المتغيرة لإنتاج $100$ مئة وحدة»؛ وأخيرًا «$\overline{Cm}=\frac{2000}{100}=20$، أي تكلفة حدية متوسطة قدرها $20$ ألف درهم لكل مئة وحدة». كل صيغة موضوعة قبل الحساب وكل تأويل اقتصادي يُفعّل نقطة.