📉 النهايات والاتصال سؤال على 4 نقطة

ربح مؤسسة: النهاية وعتبة المردودية (مبرهنة القيم الوسيطية)

النهاية في $+\infty$، الاتصال ومبرهنة القيم الوسيطية على دالة ربح: أين يضع المصحح كل نقطة في باكالوريا العلوم الاقتصادية.

📋 نص السؤال

تصنّع مؤسسة منتوجًا. مقابل إنتاج $x$ مئة وحدة ( $x \geq 0$ )، يُنمذَج الربح، معبَّرًا عنه بآلاف الدراهم، بالدالة $B$ المعرفة على $[0; + \infty [$ بـ:

$B (x) = \frac{- 2 x ^{2} + 9 x + 4}{x + 2}$

1) احسب $x \to + \infty lim B (x)$ . أوّل هذه النتيجة من الناحية الاقتصادية.

2) بيّن أن $B$ متصلة على $[0; + \infty [$ ، بيّن أن $B^{'} (x) = \frac{- 2 ( x ^{2} + 4 x - 7 )}{( x + 2 ) ^{2}}$ ، ثم أثبت أن $B$ تناقصية قطعًا على $[4; 5]$ .

3) بيّن أن المعادلة $B (x) = 0$ تقبل حلًا وحيدًا $α$ في المجال $[4; 5]$ . أوّل العدد $α$ من الناحية الاقتصادية.

🔍 سلم التنقيط، سطرًا بسطر أين تذهب كل نقطة

1

$B (x) = \frac{- 2 x ^{2} + 9 x + 4}{x + 2} = x \times \frac{- 2 + \frac{9}{x} + \frac{4}{x ^{2}}}{1 + \frac{2}{x}}$ ، و $x \to + \infty lim \frac{- 2 + \frac{9}{x} + \frac{4}{x ^{2}}}{1 + \frac{2}{x}} = - 2$ ، إذن $x \to + \infty lim B (x) = - \infty$ .
+0,5

💡 وضع العامل المشترك بأعلى درجة هو الطريقة المنتظَرة لرفع الصيغة غير المحددة $\frac{\infty}{\infty}$ : تُنقَّط الطريقة والنتيجة النهائية معًا في هذا السطر.
2

التأويل: بعد مستوى معين من الإنتاج، يصبح الربح سالبًا ويتناقص دون حدود: الإنتاج المفرط يؤدي في النهاية إلى إفلاس المؤسسة.
+0,5

💡 تشترط باكالوريا العلوم الاقتصادية دائمًا جملة تأويل اقتصادي: نتيجة رياضية صحيحة دون تأويل تُفقد هذه النقطة.
3

الاتصال: $B$ خارج قسمة دالتين حدوديتين، مع $x + 2 \neq = 0$ لكل $x \geq 0$ ، إذن $B$ متصلة على $[0; + \infty [$ .
+0,5

💡 تبرير الاتصال (خارج قسمة دالتين متصلتين لا ينعدم مقامهما) فرضية إجبارية لمبرهنة القيم الوسيطية المستعملة في السؤال 3: يجب كتابتها صراحةً، لا افتراضها فقط.
4

المشتقة: بـ $u (x) = - 2 x^{2} + 9 x + 4$ و $v (x) = x + 2$ ، $u^{'} (x) = - 4 x + 9$ و $v^{'} (x) = 1$ ، إذن $B^{'} (x) = \frac{u ^{'} ( x ) v ( x ) - u ( x ) v ^{'} ( x )}{v ( x ) ^{2}} = \frac{( - 4 x + 9 ) ( x + 2 ) - ( - 2 x ^{2} + 9 x + 4 )}{( x + 2 ) ^{2}}$ .
+0,5

💡 وضع صيغة اشتقاق خارج قسمة مع تحديد $u$ ، $v$ ، $u^{'}$ ، $v^{'}$ بوضوح يُنقَّط، حتى لو لم يُنهَ التطوير الذي يليه.
5

بعد التطوير: $(- 4 x + 9) (x + 2) - (- 2 x^{2} + 9 x + 4) = - 2 x^{2} - 8 x + 14$ ، أي $B^{'} (x) = \frac{- 2 ( x ^{2} + 4 x - 7 )}{( x + 2 ) ^{2}}$ .
+0,5

💡 التطوير ثم التعميل بـ $- 2$ إلى الصورة المطلوبة من النص يُنقَّطان عند هذه المرحلة بالذات من الحساب.
6

على $[4; 5]$ ، $x \geq 4$ يعطي $x^{2} \geq 16$ و $4 x \geq 16$ ، إذن $x^{2} + 4 x - 7 \geq 25 > 0$ ؛ وبما أن $(x + 2)^{2} > 0$ ، نحصل على $B^{'} (x) < 0$ على $[4; 5]$ ، إذن $B$ تناقصية قطعًا على $[4; 5]$ .
+0,5

💡 تحديد إشارة صغرى للبسط للحصول على إشارته، ثم الاستنتاج بإشارة $B^{'}$ والرتابة القطعية، هي الحجة التي ستُستعمل للوحدانية في السؤال 3.
7

$B (4) = \frac{- 32 + 36 + 4}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ و $B (5) = \frac{- 50 + 45 + 4}{7} = \frac{- 1}{7}$ ، إذن $B (4) \times B (5) < 0$ .
+0,5

💡 الحساب الدقيق للصور عند الحدين، بإشارة متخالفة، يوفّر فرضية الوجود لمبرهنة القيم الوسيطية: إنها نقطة حساب مضمونة، بمعزل عن الباقي.
8

$B$ متصلة وتناقصية قطعًا على $[4; 5]$ و $B (4) \times B (5) < 0$ ، إذن حسب مبرهنة القيم الوسيطية تقبل المعادلة $B (x) = 0$ حلًا وحيدًا $α \in] 4; 5 [$ . التأويل: $α$ هو مستوى الإنتاج (بمئات الوحدات) الذي تصبح المؤسسة بعده عاجزة، إنه عتبة المردودية.
+0,5

💡 جمع الاتصال والرتابة القطعية والإشارات المتخالفة بذكر مبرهنة القيم الوسيطية صراحةً يعطي الوجود والوحدانية في جملة واحدة؛ التأويل الاقتصادي لعتبة $α$ يُنقَّط بشكل منهجي في شعبة العلوم الاقتصادية.

مجموع نقط السؤال 4 نقطة

🪙 عالق؟ إليك كيف تقتنص النقط

يُنقّط مصحح العلوم الاقتصادية التأويل الاقتصادي بقدر ما يُنقّط الحساب: لا تتجاوز أبدًا جمل الخلاصة.

للنهاية في $+ \infty$ ، ضع $x$ عاملًا مشتركًا في البسط والمقام معًا قبل الاستنتاج: هذا السطر يُنقَّط حتى لو أخطأت في الإشارة النهائية.
اكتب دائمًا جملة تأويل اقتصادي بعد كل نتيجة رياضية («يصبح الربح سالبًا»، «عتبة المردودية»): إنها نقطة قائمة بذاتها في شعبة الاقتصاد، لا تُمنح تلقائيًا بالحساب.
لمشتقة خارج قسمة، ضع $u$ ، $v$ ، $u^{'}$ ، $v^{'}$ قبل التطوير: هذه الأسطر تُنقَّط حتى لو كان التطوير النهائي خاطئًا.
لمبرهنة القيم الوسيطية، لا تنسَ أيًا من اللبنات الثلاث: الاتصال + الرتابة القطعية + الإشارتان المتخالفتان عند الحدين. غياب واحدة منها يجعل الوجود، بل الوحدانية، غير مصادَق عليهما من طرف المصحح.

✍️ الجواب نفسه: تحرير سيّئ ثم جيّد

نسخة متسرعة: « $B (x) \to - \infty$ » دون تبرير الحساب، مشتقة معطاة مباشرة دون وضع $u, v, u^{'}, v^{'}$ ، و« $B (4) > 0$ ، $B (5) < 0$ إذن يوجد $α$ » دون ذكر الاتصال ولا التناقص القطعي ولا كلمة «وحيد». تفقد هذه الورقة نصف النقط: النتيجة النهائية صحيحة لكن لم تُبرَّر أي فرضية من فرضيات مبرهنة القيم الوسيطية صراحةً، ويغيب أي تأويل اقتصادي.

نسخة كاملة: نُعمّل $B (x) = x \times \frac{- 2 + \frac{9}{x} + \frac{4}{x ^{2}}}{1 + \frac{2}{x}} \to - \infty$ ونؤوّل («الإنتاج المفرط يؤدي إلى إفلاس المؤسسة»)؛ نبرر اتصال $B$ كخارج قسمة دالتين حدوديتين لا تنعدمان؛ نحسب $B^{'} (x) = \frac{- 2 ( x ^{2} + 4 x - 7 )}{( x + 2 ) ^{2}}$ ، نبيّن أنها سالبة على $[4; 5]$ ؛ نحسب $B (4) = \frac{4}{3}$ ، $B (5) = - \frac{1}{7}$ ونستنتج بمبرهنة القيم الوسيطية وجود $α$ وحيد، عتبة مردودية المؤسسة. كل مبرهنة مذكورة وكل جملة تأويل اقتصادي تمنح نقطتها.

🕵️

تدرّب على رصد ما يُكلّفك نقطًا

هل ستكتشف الخطأ الذي يُضيّع النقط في تصحيح ما؟ ← جد الخطأ

←

📊 دراسة دالة تكلفة تحتوي على لوغاريتم

→ السابق

∫ التكلفة الإجمالية انطلاقًا من التكلفة الحدية (حساب تكاملي)

سلالم تنقيط أخرى مُفكَّكة

🔢 المتتاليات

برهان بالاستدلال بالترجع

📈 التحليل

إثبات أن معادلة تقبل حلا وحيدا (مبرهنة القيم الوسيطية)

📉 المتتاليات

إثبات تقارب متتالية تراجعية

📊 شاهد كل سلالم التنقيط المُفكَّكة ←