📊 اللوغاريتم النبيري سؤال على 4 نقطة

دراسة دالة تكلفة تحتوي على لوغاريتم

المجال، النهايات، المشتقة والقيمة الدنيا لدالة تكلفة بـ $\ln$: أين تذهب النقط، وكيف يُنقَّط التأويل الاقتصادي بشكل منفصل.

📋 نص السؤال

تصنّع مؤسسة سلعة. تُنمذَج التكلفة الإجمالية للإنتاج، معبَّرًا عنها بآلاف الدراهم، مقابل كمية $x$ (بمئات السلع) بالدالة $C$ المعرفة على $] 0; + \infty [$ بـ $C (x) = x - ln x + 1$ .

احسب $x \to 0^{+} lim C (x)$ و $x \to + \infty lim C (x)$ .
احسب $C^{'} (x)$ لكل $x \in] 0; + \infty [$ ، ثم ادرس إشارتها.
ضع جدول تغيرات $C$ على $] 0; + \infty [$ .
استنتج الكمية $x_{0}$ التي تكون عندها تكلفة الإنتاج دنيا، وأعطِ هذه التكلفة الدنيا. أوّل النتيجة في سياق المؤسسة.

🔍 سلم التنقيط، سطرًا بسطر أين تذهب كل نقطة

1

$x \to 0^{+} lim x = 0$ و $x \to 0^{+} lim (- ln x) = + \infty$ ، إذن $x \to 0^{+} lim C (x) = + \infty$ .
+0,5

💡 تُقرأ النهاية في $0^{+}$ مباشرة من $lim ln x = - \infty$ : لا صيغة غير محددة، تُكسب النقطة بمجرد معرفة نتيجة درس $ln$ .
2

$C (x) = x (1 - \frac{ln x}{x}) + 1$ و $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0$ (نمو مقارَن)، إذن $x \to + \infty lim C (x) = + \infty$ .
+0,5

💡 ترفع نهاية $+ \infty$ الصيغة غير المحددة $\infty - \infty$ بواسطة النمو المقارَن: ذكر $lim \frac{l n x}{x} = 0$ هو الحجة المنتظَرة.
3

$C$ قابلة للاشتقاق على $] 0; + \infty [$ و $C^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ .
+0,5

💡 يُنقَّط حساب المشتقة بمعزل عن الباقي: مكتسب حتى لو فشلت دراسة الإشارة بعده.
4

بما أن $x > 0$ ، فإشارة $C^{'} (x)$ هي إشارة $x - 1$ : $C^{'} (x) < 0$ على $] 0; 1 [$ و $C^{'} (x) > 0$ على $] 1; + \infty [$ ، مع $C^{'} (1) = 0$ .
+0,5

💡 نعزل العامل $x - 1$ لأن المقام $x$ موجب: هذه النقطة الحرجة $x = 1$ هي التي تبني جدول التغيرات بأكمله.
5

جدول التغيرات: $C$ تناقصية على $] 0; 1]$ من $+ \infty$ إلى $C (1)$ ، ثم تزايدية على $[1; + \infty [$ من $C (1)$ إلى $+ \infty$ .
+0,5

💡 يلخّص الجدول النهايات وإشارة $C^{'}$ والنقطة الحرجة؛ إذا قُدِّم بشكل جيد بأسهم وقيم عند الحدود، يُنقَّط حتى دون الحساب النهائي لـ $C (1)$ .
6

تقبل $C$ قيمة دنيا عند $x = 1$ ، تساوي $C (1) = 1 - ln 1 + 1 = 1 - 0 + 1 = 2$ .
+0,5

💡 حساب $ln 1 = 0$ صراحةً ثم القيمة $C (1) = 2$ نقطة منفصلة عن مجرد تحديد القيمة الدنيا على الجدول.
7

الاستنتاج الرياضي: التكلفة $C$ دنيا عند $x_{0} = 1$ ، وتساوي هذه القيمة الدنيا $2$ .
+0,5

💡 جملة الاستنتاج التي تربط صراحةً $x_{0} = 1$ بالقيمة $2$ تُغلق السؤال 4 على المستوى الرياضي.
8

التأويل الاقتصادي: مقابل إنتاج $x_{0} = 1$ مئة سلعة (أي $100$ سلعة)، تكون التكلفة الإجمالية دنيا وتساوي $2$ ألف درهم، أي $2000$ درهم.
+0,5

💡 يُنقّط المصحح بشكل منفصل ترجمة النتيجة الرياضية في سياق النص (الوحدات، الكمية الملموسة): بدون هذه الجملة، لا يُعتبر السؤال 4 مكتملًا في شعبة الاقتصاد.

مجموع نقط السؤال 4 نقطة

🪙 عالق؟ إليك كيف تقتنص النقط

هذه الدراسة الوظيفية قابلة للتجزئة جدًا: كل مرحلة تُنقَّط بشكل مستقل، وسؤال التأويل يمنح نقطة بحد ذاته، منفصلة عن الحساب.

كل نهاية تُنقَّط وحدها: حتى لو فشلت في نهاية $+ \infty$ ، تمنحك نهاية $0^{+}$ نقطتها. عالجهما واحدة تلو الأخرى واذكر دائمًا $x \to + \infty lim \frac{l n x}{x} = 0$ .
حساب $C^{'} (x)$ مستقل عن الإشارة: اكتب $C^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ بشكل سليم؛ تحتفظ بهذه النقطة حتى لو أخطأت بعد ذلك في الإشارة.
الجدول المقدَّم بشكل جيد يُنقَّط حتى دون القيمة الدقيقة لـ $C (1)$ : أسهم، نهايات عند الحدود ونقطة حرجة $x = 1$ تكفي لتأمين هذه النقطة.
لا تنسَ أبدًا جملة التأويل: «مقابل إنتاج $100$ سلعة، التكلفة دنيا وتساوي $2000$ درهم» نقطة قائمة بذاتها، منفصلة عن حساب $C (1) = 2$ .

✍️ الجواب نفسه: تحرير سيّئ ثم جيّد

نسخة متسرعة: يكتب التلميذ مباشرة « $C$ تتناقص ثم تتزايد، القيمة الدنيا عند $1$ ، $C (1) = 2$ » دون تبرير النهايات ولا إشارة $C^{'}$ ، ودون إضافة أي جملة سياق. لا يستطيع المصحح تنقيط سوى هيكل الجدول والحساب النهائي: تضيع نقط النهايتين، وتبرير الإشارة، وقبل كل شيء التأويل الاقتصادي، أي قرابة نصف السلم.

نسخة كاملة: نحسب $x \to 0^{+} lim C (x) = + \infty$ و $x \to + \infty lim C (x) = + \infty$ (نمو مقارَن)، نشتق $C^{'} (x) = \frac{x - 1}{x}$ ، نبرر إشارتها انطلاقًا من $x - 1$ (لأن $x > 0$ )، نضع الجدول، نستنتج $C (1) = 2$ ، ثم نضيف الجملة: «مقابل إنتاج $100$ سلعة، تكون تكلفة الإنتاج دنيا وتبلغ $2000$ درهم». هذه الجملة الأخيرة، التي غالبًا ما تُنسى، هي التي تميّز ورقة كاملة في شعبة العلوم الاقتصادية عن ورقة «صحيحة رياضيًا» فقط.

🕵️

تدرّب على رصد ما يُكلّفك نقطًا

هل ستكتشف الخطأ الذي يُضيّع النقط في تصحيح ما؟ ← جد الخطأ

←

→ السابق

📉 ربح مؤسسة: النهاية وعتبة المردودية (مبرهنة القيم الوسيطية)

سلالم تنقيط أخرى مُفكَّكة

🔢 المتتاليات

برهان بالاستدلال بالترجع

📈 التحليل

إثبات أن معادلة تقبل حلا وحيدا (مبرهنة القيم الوسيطية)

📉 المتتاليات

إثبات تقارب متتالية تراجعية

📊 شاهد كل سلالم التنقيط المُفكَّكة ←