«على الأقل واحد»: نسيان الحدث المضاد

من أجل «على الأقل نجاح واحد»، يحاول التلميذ $p(X\ge 1)=p(X=1)+p(X=2)+\cdots +p(X=n)$، وهو مجموع طويل عرضة للنسيان. والمنعكس الصحيح هو الحدث المضاد: $p(X\ge 1)=1-p(X=0)$.

مثال عددي: مع $X$ يتبع $\mathcal{B}(5;0,2)$، لدينا $p(X=0)=0,8^5=0,32768$، إذن $p(X\ge 1)=1-0,32768=0,67232$. والمجموع المباشر للحدود الخمسة يعطي النتيجة نفسها بخمسة أضعاف الحساب.

المنعكس: بمجرد قراءة «على الأقل واحد»، اكتب $p(X\ge 1)=1-p(X=0)$.

• «على الأقل واحد» $\Rightarrow$ المضاد = «لا أحد».
• $p(X=0)=(1-p{)}^n$ من أجل قانون ثنائي.
• «على الأقل اثنان» $\Rightarrow 1-p(X=0)-p(X=1)$.
• تحقّق من أن النتيجة بين $0$ و$1$.

في باكالوريا العلوم التجريبية (فيزياء/علوم الحياة والأرض)، يتكرّر كثيرًا سؤال «احتمال أن يكون على الأقل واحد...». والمجموع المباشر يُضيّع الوقت ويُضاعِف الأخطاء؛ ويتوقّع المصحّح صراحةً المرور عبر $1-p(X=0)$.