Étude d'un satellite de positionnement de type GPS

Les satellites d'un système de positionnement décrivent une orbite circulaire dont la période de révolution vaut la moitié du jour sidéral terrestre, soit $T=11\text{ h }58\text{ min}=43080\text{ s}$. On donne $G=6,67\times 10^{-11}{\text{ N.m}}^2/{\text{kg}}^2$, $M_T=5,98\times 10^{24}\text{ kg}$, $R_T=6400\text{ km}$, et le jour sidéral $T_{sid}=86164\text{ s}$.

1. À partir de la troisième loi de Kepler, établir l'expression du rayon orbital $r$ en fonction de $G$, $M_T$, $T$ et $\pi$.

2. Calculer $r$, puis en déduire l'altitude $h$ de ces satellites.

3. Calculer la vitesse orbitale $v$ de ces satellites.

4. Vérifier que la période $T$ correspond à environ deux tours complets par jour sidéral, et expliquer l'intérêt de ce choix pour la couverture terrestre du système.