Bilan énergétique d'un oscillateur amorti

Un pendule élastique horizontal, de masse $m=0,400\text{ kg}$ et de raideur $k=32\text{ N/m}$, est soumis à une force de frottement solide d'intensité $f$ constante, opposée au mouvement. Écarté d'une amplitude initiale $X_0=8,0\text{ cm}=0,080\text{ m}$ et lâché sans vitesse initiale, le mobile atteint, une demi-période plus tard, une nouvelle position de rebroussement de l'autre côté de l'équilibre, avec une amplitude $X_1=6,0\text{ cm}=0,060\text{ m}$.

1. Calculer l'énergie mécanique $E_{m0}$ à l'instant initial et $E_{m1}$ à la nouvelle position de rebroussement.

2. En déduire le travail des forces de frottement $W(\vec{f})$ sur ce trajet, et vérifier qu'il est négatif.

3. Sachant que la distance totale parcourue par le mobile entre les deux positions de rebroussement est $d=X_0+X_1$, calculer l'intensité $f$ de la force de frottement.

4. Calculer la vitesse maximale du mobile lors de son passage suivant par la position d'équilibre ($x=0$), en admettant qu'aucune énergie supplémentaire n'est perdue avant ce passage.