الخلط بين الفوائد البسيطة والفوائد المركّبة

رأسمال قدره 10 000 درهم يُوظَّف بمعدل 6% لمدة 10 سنوات، بفوائد مركّبة. التلميذ، في عجلة من أمره، يعيد استعمال ردّة فعل الفوائد البسيطة المتعلَّمة قبل ذلك مباشرة ويحسب $V_{10}=10000(1+10\times 0,06)=10000\times 1,6=16000$ درهم. غير أن الصيغة الصحيحة هي $V_{10}=10000\times (1,06{)}^{10}\approx 17908,48$ درهم. الفارق بين النتيجتين حوالي 1 908{,}48 درهم، أي ما يقارب 12% « ضائعة » من السؤال لمجرد تطبيق الصيغة الخاطئة.

ما يجعل هذا الخطأ خطيرًا هو أنه غير مرئي بالنسبة للتلميذ عند القيم الصغيرة لـ $n$: من أجل $n=1$ سنة، تعطي الصيغتان النتيجة نفسها بالضبط (10 600 درهم)، ومن أجل $n=2$ سنة لا يتعدّى الفارق 36 درهمًا (11 200 درهم مقابل 11 236 درهم). فيشعر التلميذ إذن بـ « تأكيد » طريقته على الحدود الأولى، بينما ينفجر الفارق بعد ذلك: 382{,}26 درهم عند $n=5$، ثم 1 908{,}48 درهم عند $n=10$. في تمرين باكالوريا يمتدّ على 15 أو 20 سنة، قد يمثّل خطأ المنهجية فارقًا بآلاف الدراهم، دون ظهور أي إشارة تنبيه أثناء الحساب.

القاعدة الذهنية: قبل أي حساب، اسأل نفسك « هل تُعاد حساب فوائد كل دورة على أساس الرأسمال الجديد (مركّبة) أم دائمًا على الرأسمال الأصلي (بسيطة)؟ ». إذا ظهرت كلمة « رسملة » أو « مركّبة »، أو إذا تجاوزت المدة بضع سنوات، فإن الأس $(1+i{)}^n$ هو المتوقَّع غالبًا.

• أعد قراءة السؤال وحدّد الكلمات المفتاحية: « فوائد بسيطة » ← صيغة خطّية $V_n=V_0(1+ni)$؛ « فوائد مركّبة » أو « رسملة سنوية » ← صيغة أُسّية $V_n=V_0(1+i{)}^n$.
• تحقّق مع $n=1$: يجب أن تعطي الصيغتان النتيجة نفسها؛ إن لم يكن الأمر كذلك، فهناك خطأ حسابي سابق.
• قدّر رتبة الحجم قبل الحساب: على مدة طويلة (10 سنوات أو أكثر)، يجب أن تكون نتيجة الفوائد المركّبة أكبر بوضوح من نتيجة الفوائد البسيطة، وليست مساوية لها أبدًا.
• لا تستعمل $(1+i{)}^n$ على الآلة الحاسبة دون التحقق من أن زر الأس طُبِّق فعلًا على $(1+i)$ وليس على شيء آخر.
• أنشئ جدولًا سنة بسنة على سطرين أو ثلاثة لتصوّر ما إذا كان الرأسمال يزداد بمبلغ ثابت (بسيطة) أو بمبلغ متزايد (مركّبة).

في امتحانات الباكالوريا المغربية شعبة العلوم الاقتصادية، فصل « الرياضيات المالية » للسنة الأولى باكالوريا شعبة الاقتصاد يقدّم دائمًا المفهومين في التمرين نفسه، غالبًا لمقارنتهما صراحةً (« احسب القيمة المكتسبة في حالة توظيف بفوائد بسيطة، ثم في حالة توظيف بفوائد مركّبة، وقارن »). استعمال الصيغة الخاطئة في سؤال واحد فقط من السؤالين يفقد كامل نقاط هذا التمرين الفرعي، بما فيها نقاط سؤال المقارنة النهائي الذي يعتمد على النتيجتين العدديتين معًا. سلّم التنقيط يعاقب الخطأ مضاعَفًا: مرة على حساب $V_n$ نفسه، ومرة على التفسير الاقتصادي المطلوب بعد ذلك (مثلًا « ابتداءً من أي مدة يصبح التوظيف بفوائد مركّبة أكثر فائدة؟ »)، الذي يصبح غير متّسق إذا كانت إحدى القيمتين المكتسَبتين خاطئة. إنه من أكثر الأخطاء كلفة في الفصل لأنه سهل الوقوع فيه تحت ضغط الوقت، لكن يستحيل تداركه جزئيًا: لا يمكن للمصحّح منح نقاط المنهجية إذا كانت الصيغة الأساسية المطبَّقة هي صيغة المفهوم الآخر.