📈 التحليل ثانية باك ع.تج #32 / 62

نسيان العامل $u^{'}$ عند اشتقاق $ln (u)$

كتابة $(ln (u))^{'} = \frac{1}{u}$ بدل $\frac{u ^{'}}{u}$ .

🧠 الانحياز المعرفي المُحدَّد : نسيان قاعدة السلسلة

❌ الخطأ النموذجي

نحفظ $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ ونطبّقها كما هي على $ln (u (x))$ فنكتب $\frac{1}{u}$ . والصيغة الصحيحة هي $(ln (u))^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ .

مثال: مع $f (x) = ln (x^{2} + 1)$ ، لدينا $u = x^{2} + 1$ و $u^{'} = 2 x$ ، إذن $f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ وليس $\frac{1}{x ^{2} + 1}$ . ومع $ln (3 x)$ : $\frac{3}{3 x} = \frac{1}{x}$ — هنا تتطابق النتيجة صدفةً، مما يعزّز العادة الخاطئة.

✅ المنعكس لتجنّبه نهائياً

المنعكس: مشتقة $ln (u)$ كسر بسطه $u^{'}$ ، وليس $1$ أبدًا (إلا إذا كان $u = x$ ).

حدِّد $u$ (العبارة داخل $ln$ ).
احسب $u^{'}$ .
اكتب $\frac{u ^{'}}{u}$ .
تحقّق من المجال: يجب أن يكون $u > 0$ .

🎯 أين تفقد نقاطاً في باكالوريا العلوم التجريبية

في باكالوريا العلوم التجريبية (فيزياء/علوم الحياة والأرض)، الدوال من نوع $f (x) = ln (x^{2} + 1)$ أو $x - ln (2 x + 1)$ كلاسيكية في مسألة التحليل. فأي مشتقة خاطئة تُفسِد إشارة $f^{'}$ ، وبالتالي اتجاه التغيرات والقيمة القصوى. وهي أساسية أيضًا لحساب الدوال الأصلية من الصيغة $\frac{u ^{'}}{u}$ في حساب التكاملات، حيث يُدفَع ثمن الخطأ مرتين.

💡 للفضوليين : لماذا يفعل دماغك هذا عرض ▾إخفاء ▴

الصيغة $\frac{1}{x}$ راسخة بوصفها «مشتقة $ln$ »، ويبدو البسط $1$ عامًّا لا يتغيّر. وبما أنه في حالة $ln (a x)$ يُبسَّط العامل $u^{'}$ غالبًا، يمرّ الخطأ دون أن يُلاحَظ ويترسّخ.