📈 التحليل ثانية باك ع.تج #31 / 62

نسيان العامل $u^{'}$ عند اشتقاق $e^{u}$

كتابة $(e^{u})^{'} = e^{u}$ بدل $u^{'} e^{u}$ ، مثلًا $(e^{- x})^{'} = e^{- x}$ بدل $- e^{- x}$ .

🧠 الانحياز المعرفي المُحدَّد : آلية اشتقاق تلقائية

❌ الخطأ النموذجي

الصيغة الأساسية $(e^{x})^{'} = e^{x}$ راسخة إلى درجة أنها تُطبَّق تلقائيًا على $e^{u (x)}$ مع نسيان قاعدة السلسلة. والصيغة الصحيحة هي $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ .

مثال نموذجي: مع $f (x) = e^{- x}$ ، لدينا $u (x) = - x$ إذن $u^{'} (x) = - 1$ و $f^{'} (x) = - e^{- x}$ ، وليس $e^{- x}$ . وبالمثل $(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}$ و $(e^{- x^{2}})^{'} = - 2 x e^{- x^{2}}$ .

✅ المنعكس لتجنّبه نهائياً

المنعكس: قبل اشتقاق أسّية، حدِّد الأُس $u$ ، احسب $u^{'}$ على حدة، ثم اكتب $u^{'} e^{u}$ .

حدِّد $u$ (ما يوجد في الأُس).
اشتق: $u^{'}$ .
أعد الكتابة: $u^{'} \times e^{u}$ .
اختبار سريع: إذا كان $u = x$ فإن $u^{'} = 1$ ونجد $(e^{x})^{'} = e^{x}$ .

🎯 أين تفقد نقاطاً في باكالوريا العلوم التجريبية

في باكالوريا العلوم التجريبية (فيزياء/علوم الحياة والأرض)، الأسّية حاضرة في كل مكان: دراسة تغيرات $f (x) = (x + 1) e^{- x}$ ، البحث عن المماسات، المعادلات التفاضلية $y^{'} = a y$ في الفيزياء (النشاط الإشعاعي، شحن مكثف). فأي مشتقة خاطئة تُفسِد جدول التغيرات بأكمله والأسئلة المرتبطة به، مما يكلّف سلسلة من النقاط في مسألة التحليل.

💡 للفضوليين : لماذا يفعل دماغك هذا عرض ▾إخفاء ▴

يحفظ الدماغ $e^{x}$ بوصفها الدالة «المساوية لمشتقتها» ويُعمِّم هذه الخاصية خطأً على كل أسّية مركّبة. أما العامل $u^{'}$ ، الداخلي في التركيب، فيُهمَل لأنه غير ظاهر في الصيغة الأساسية.