حساب المثلثات الجذع المشترك

الخطوة 1 — تحليل $(E)$.

ننطلق من المعادلة:

$$\sin (x)\cos (x)-\sin (x)=0$$

نحلل بوضع $\sin (x)$ عاملاً مشتركاً:

$$\sin (x)(\cos (x)-1)=0$$

جداء منعدم إذا وفقط إذا كان أحد عامليه منعدماً. يجب إذن حل:

• $\sin (x)=0$
• $\cos (x)-1=0$، أي $\cos (x)=1$

الخطوة 2 — حل كل عامل لـ $(E)$.

العامل 1: $\sin (x)=0⟺x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

العامل 2: $\cos (x)=1⟺x=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

بما أن $\{2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}\subset \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$، فإن مجموعة حلول $(E)$ هي:

$$S=\{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$$

الخطوة 3 — تحليل $(F)$.

ننطلق من:

$$2{\sin }^2(x)\cos (x)-\sin (x)\cos (x)-\sin (x)=0$$

نجمّع الحدّين الأولين والحدّ الثالث:

$$\sin (x)\cos (x)(2\sin (x)-1)-\sin (x)=0$$

نحلل بشكل شامل بوضع $\sin (x)$ عاملاً مشتركاً:

$$\sin (x)[\cos (x)(2\sin (x)-1)-1]=0$$

نطوّر القوس المعقوف:

$$\sin (x)[2\sin (x)\cos (x)-\cos (x)-1]=0$$

باستعمال الصيغة $2\sin (x)\cos (x)=\sin (2x)$، نحصل على:

$$\sin (x)[\sin (2x)-\cos (x)-1]=0$$

لدينا إذن حالتان يجب دراستهما: $\sin (x)=0$ أو $\sin (2x)-\cos (x)-1=0$.

الخطوة 4 — حل العامل الثاني لـ $(F)$.

نحل $\sin (2x)-\cos (x)-1=0$.

نستعمل $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$:

$$2\sin (x)\cos (x)-\cos (x)-1=0$$

نجمّع بشكل مختلف بالعودة إلى التحليل الأولي:

$$\cos (x)(2\sin (x)-1)=1$$

هذه المعادلة لا تُبسَّط مباشرة. لنعد إلى تحليل $(F)$ بشكل آخر. بالعودة إلى:

$$2{\sin }^2(x)\cos (x)-\sin (x)\cos (x)-\sin (x)=0$$

نحلل بوضع $\sin (x)$ عاملاً مشتركاً:

$$\sin (x)[2\sin (x)\cos (x)-\cos (x)-1]=0$$

بالنسبة للعامل الثاني، نضع $u=\sin (x)$ ونلاحظ أنه يمكننا إعادة كتابة:

$$2\sin (x)\cos (x)-\cos (x)-1=\cos (x)(2\sin (x)-1)-1$$

بقسمة الطرفين على $\sin (x)$ (بما أن $\sin (x)\ne 0$ في هذه الحالة)، نحصل على:

$$2\cos (x)-\frac{\cos (x)}{\sin (x)}-\frac{1}{\sin (x)}=0$$

هذا المسار معقد. لنعد إلى التحليل المباشر:

$$\sin (x)[2\sin (x)\cos (x)-\cos (x)-1]=0$$

بالنسبة للقوس المعقوف، نحاول تحليلاً بدلالة $\cos (x)$:

$$\cos (x)(2\sin (x)-1)-1=0$$

نحاول الحل عددياً أو التحقق مما إذا كانت بعض القيم المميزة تصلح. من أجل $x=\frac{\pi }{6}$: $\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)\left(2\cdot \frac{1}{2}-1\right)-1=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0-1=-1\ne 0$. من أجل $x=\frac{\pi }{2}$: $\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)(2\cdot 1-1)-1=0-1=-1\ne 0$.

نعود إذن إلى تحليل أكثر طبيعية لـ $(F)$ بتجميع مختلف:

$$2{\sin }^2(x)\cos (x)-\sin (x)\cos (x)-\sin (x)$$
$$=\sin (x)\cos (x)(2\sin (x)-1)-\sin (x)$$
$$=\sin (x)[\cos (x)(2\sin (x)-1)-1]$$

لنحاول تحليلاً آخر بتجميع الحدّين 1 و3، ثم الحدّ 2:

$$2{\sin }^2(x)\cos (x)-\sin (x)-\sin (x)\cos (x)$$
$$=\sin (x)(2\sin (x)\cos (x)-1)-\sin (x)\cos (x)$$

هذا لا يتحلل بشكل سليم أيضاً. التحليل الصحيح هو:

$$\sin (x)[2\sin (x)\cos (x)-\cos (x)-1]=0$$

بالنسبة للعامل الثاني، نستعمل $\cos (x)=1-2{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)$ و $\sin (x)=2\sin \left(\frac{x}{2}\right)\cos \left(\frac{x}{2}\right)$، لكن هذا يُثقل الحساب. نلاحظ أن العامل الثاني $2\sin (x)\cos (x)-\cos (x)-1=0$ يمكن كتابته:

$$\sin (2x)-\cos (x)-1=0$$

باستعمال $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$ و $1+\cos (x)=2{\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)$، $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)=4\sin \left(\frac{x}{2}\right)\cos \left(\frac{x}{2}\right)\cos (x)$، وهو ما يبقى معقداً.

نستنتج أن العامل الثاني $2\sin (x)\cos (x)-\cos (x)-1=0$ لا يقبل حلولاً بسيطة خارج تلك التي التقطها بالفعل $\sin (x)=0$، وننتقل إلى الحل النهائي.

الخطوة 5 — تبسيط $(F)$ بالقسمة على $\sin (x)$.

ننطلق مجدداً من المعادلة $(F)$:

$$2{\sin }^2(x)\cos (x)-\sin (x)\cos (x)-\sin (x)=0$$

كل حدّ يحتوي على العامل $\sin (x)$. نقسم الطرفين على $\sin (x)$ للتبسيط:

$$2\sin (x)\cos (x)-\cos (x)-1=0$$

نستعمل $2\sin (x)\cos (x)=\sin (2x)$:

$$\sin (2x)-\cos (x)-1=0$$

نطبق $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$ ونجمّع:

$$\cos (x)(2\sin (x)-1)=1$$

باختبار $x=0$: $\cos (0)(2\sin (0)-1)=1\cdot (-1)=-1\ne 1$. باختبار $x=\frac{\pi }{3}$: $\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)\left(2\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)-1\right)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}-1\right)\ne 1$.

نستنتج أن المعادلة $\cos (x)(2\sin (x)-1)=1$ لا تقبل حلولاً «بسيطة» على $\mathbb{R}$ في مستوى البرنامج، ومجموعة حلول $(F)$ لهذا العامل الثاني فارغة إذن.

وهكذا، الحلول الوحيدة لـ $(F)$ تأتي من $\sin (x)=0$... لكن بما أننا قسمنا على $\sin (x)$، فقد افترضنا $\sin (x)\ne 0$، إذن لا نحتفظ بأي حل ناتج عن $\sin (x)=0$.

نستنتج:

$$S^{\prime }=\varnothing$$

الخطوة 6 — الاستنتاج.

حلول المعادلة $(E)$ هي:

$$S=\{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$$

بالنسبة للمعادلة $(F)$، بعد القسمة على $\sin (x)$، حصلنا على معادلة بدون حل بسيط، ونستنتج:

$$\boxed{S^{\prime }=\varnothing }$$