حساب المثلثات الجذع المشترك

الخطوة 1 — تطوير $\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)$

نطبق صيغة جمع جيب التمام:

$$\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)\cos (x)-\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)\sin (x)$$

وبما أن $\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ و $\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$، فإن:

$$\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)=\frac{1}{2}\cos (x)-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin (x)$$

نستنتج:

$$f(x)=\frac{1}{2}\cos (x)-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin (x)+\sqrt{3}\sin (x)=\frac{1}{2}\cos (x)+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin (x)$$

إذن $A=\frac{1}{2}$ و $B=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

الخطوة 2 — الكتابة على الشكل $R\cos (x+\phi )$

نبحث عن $R>0$ و $\phi \in [0,2\pi [$ بحيث $R\cos (x+\phi )=R\cos (\phi )\cos (x)-R\sin (\phi )\sin (x)$.

بالمطابقة مع $f(x)=\frac{1}{2}\cos (x)+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin (x)$، نحصل على الجملة:

$$\{\begin{array}{l}R\cos (\phi )=\frac{1}{2}\\ -R\sin (\phi )=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

ومنه $R^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$، أي $R=1$.

لدينا إذن $\cos (\phi )=\frac{1}{2}$ و $\sin (\phi )=-\frac{\sqrt{3}}{2}$، مما يعطي $\phi =\frac{5\pi }{3}$.

إذن:

$$\boxed{f(x)=\cos \left(x+\frac{5\pi }{3}\right)}$$

الخطوة 3 — حل $f(x)=1$ على $[0,2\pi [$

تصبح المعادلة:

$$\cos \left(x+\frac{5\pi }{3}\right)=1$$

وبما أن $\cos (\theta )=1⟺\theta =2k\pi$، $k\in \mathbb{Z}$. إذن:

$$x+\frac{5\pi }{3}=2k\pi ⟹x=2k\pi -\frac{5\pi }{3}$$

من أجل $k=1$: $x=2\pi -\frac{5\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$، التي تنتمي فعلاً إلى $[0,2\pi [$.

من أجل $k=0$: $x=-\frac{5\pi }{3}\notin [0,2\pi [$. من أجل $k=2$: $x=\frac{7\pi }{3}\notin [0,2\pi [$.

الحل الوحيد على $[0,2\pi [$ هو $x=\frac{\pi }{3}$.

الخطوة 4 — حساب $f(x)$ بتبسيط غير صحيح

نرغب في التحقق من النتيجة بإعادة حساب $f\left(\frac{\pi }{3}\right)$ مباشرة انطلاقاً من العبارة الأصلية.

$$f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}\right)+\sqrt{3}\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)$$

لحساب $\cos \left(\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)$، بدل استعمال القيمة المضبوطة، «نُبسّط» بشكل تعسفي:

$$\cos \left(\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)+\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$

نحصل إذن على:

$$f\left(\frac{\pi }{3}\right)=1+\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$$

تبدو هذه النتيجة تؤكد أن $f\left(\frac{\pi }{3}\right)\ne 1$، مما يبدو متناقضاً مع الحل السابق.

الخطوة 5 — القيمة القصوى لـ $f$ على $\mathbb{R}$

حسب الصيغة التي تم الحصول عليها $f(x)=\cos \left(x+\frac{5\pi }{3}\right)$، وبما أن $R=1$، لدينا لكل $x\in \mathbb{R}$:

$$-1\le f(x)\le 1$$

القيمة القصوى لـ $f$ هي إذن $1$، تتحقق عندما $\cos \left(x+\frac{5\pi }{3}\right)=1$، أي (حسب الخطوة 3) من أجل $x=\frac{\pi }{3}$ في $[0,2\pi [$.

غير أنه، بسبب النتيجة الخاطئة للخطوة 4، نستنتج خطأً أن $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{5}{2}$، مما يوحي زوراً بأن القيمة القصوى لـ $f$ هي $\frac{5}{2}$ وليست $1$.