حساب المثلثات الجذع المشترك

الخطوة 1 — اختزال $\theta$ بترديد $2\pi$.

نبحث عن ${\theta }^{\prime }\in [0;2\pi [$ بحيث ${\theta }^{\prime }\equiv \theta (\mathrm{mod}2\pi )$.

نحسب:

تحقق: $\frac{7\pi }{6}\in [0;2\pi [$ ✓

إذن ممثل $\theta =-\frac{5\pi }{6}$ في $[0;2\pi [$ هو ${\theta }^{\prime }=\frac{7\pi }{6}$.

الخطوة 2 — تحديد الربع وإشارتي $\cos \theta$ و $\sin \theta$.

لدينا ${\theta }^{\prime }=\frac{7\pi }{6}$. لنقارن مع $\pi$ و $\frac{3\pi }{2}$:

إذن ${\theta }^{\prime }$ تقع فعلاً في الربع الثالث ($\pi <{\theta }^{\prime }<\frac{3\pi }{2}$).

غير أن الزاوية $\theta =-\frac{5\pi }{6}$ سالبة، فنقرأها مباشرة على الدائرة انطلاقاً من $0$ في الاتجاه السالب (اتجاه عقارب الساعة). بما أن $\frac{5\pi }{6}$ أصغر قليلاً من $\pi$، فإن النقطة $M$ توجد في الربع الثاني (في اتجاه عقارب الساعة، يقابل هذا زاوية بين $-\frac{\pi }{2}$ و $-\pi$، أي الربع الثاني).

نستنتج إذن:

الخطوة 3 — حساب $\cos \theta$ انطلاقاً من $\sin \theta =-\frac{1}{2}$.

نستعمل المتطابقة الأساسية:

إذن $\cos \theta =\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

حسب الخطوة 2، استنتجنا أن $\cos \theta <0$ (الربع الثاني)، إذن:

الخطوة 4 — التحقق من اتساق إشارة $\sin \theta$.

حسب الخطوة 2، استنتجنا $\sin \theta >0$ (الربع الثاني). غير أن المعطيات تعطي $\sin \theta =-\frac{1}{2}<0$.

هذا التناقض لم يُلاحَظ ونتابع بالقيم المحسوبة:

الخطوة 5 — حساب $\tan \theta$.

بالتعريف، $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ (معرفة لأن $\cos \theta \ne 0$).

نحصل إذن على $\tan \theta =\frac{\sqrt{3}}{3}$.