حساب المثلثات الجذع المشترك

الخطوة 1 — قيمة مميزة وإعداد المعادلة.

نعلم أن $\tan \left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$. المعادلة $\tan \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}$ تكافئ إذن:

$$\tan \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\tan \left(\frac{\pi }{3}\right)$$

لحل معادلة من الشكل $\tan (\theta )=\tan (\alpha )$، يجب استعمال الصيغة العامة لحلول الظل.

الخطوة 2 — الصيغة العامة للحلول (الخطأ هنا).

دالة الظل دورية بدور $2\pi$ (مثل الجيب وجيب التمام). وبالتالي، الحل العام للمعادلة $\tan (\theta )=\tan (\alpha )$ هو:

$$\theta =\alpha +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

نضع $\theta =2x-\frac{\pi }{6}$ و $\alpha =\frac{\pi }{3}$. تصبح المعادلة إذن:

$$2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

الخطوة 3 — حل المعادلة في $x$.

نعزل $x$ انطلاقاً من المعادلة التي تم الحصول عليها:

$$2x=\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}+2k\pi =\frac{2\pi }{6}+\frac{\pi }{6}+2k\pi =\frac{3\pi }{6}+2k\pi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$$

بقسمة على $2$:

$$x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

مجموعة الحلول هي إذن $S=\left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

الخطوة 4 — الحلول في $[0,\pi ]$.

نبحث عن قيم $k\in \mathbb{Z}$ بحيث $x=\frac{\pi }{4}+k\pi \in [0,\pi ]$.

$$0\le \frac{\pi }{4}+k\pi \le \pi ⟹-\frac{\pi }{4}\le k\pi \le \frac{3\pi }{4}⟹-\frac{1}{4}\le k\le \frac{3}{4}$$

بما أن $k\in \mathbb{Z}$، فإن القيمة الوحيدة الممكنة هي $k=0$، مما يعطي:

$$x=\frac{\pi }{4}$$

مجموعة الحلول في $[0,\pi ]$ هي إذن $S_{[0,\pi ]}=\left\{\frac{\pi }{4}\right\}$.

الخطوة 5 — التحقق.

من أجل $x=\frac{\pi }{4}$:

$$2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi }{6}-\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$$

وفعلاً $\tan \left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$. ✓

الحل $x=\frac{\pi }{4}$ متحقق فعلاً. غير أنه، بسبب الدور المستعمل، فقدنا الحل $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{4}$ الذي ينتمي أيضاً إلى $[0,\pi ]$ وهو حل صالح (التحقق يعطي $\tan \left(\frac{3\pi }{2}-\frac{\pi }{6}\right)=\tan \left(\frac{4\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$).