حساب المثلثات الجذع المشترك

الخطوة 1 – تغيير المتغير وصياغة المعادلة.

نضع $t=\cos (x)$. بما أن دالة جيب التمام تأخذ قيمها في $[-1;1]$، فإن المتغير $t$ يجب أن يحقق $t\in [-1;1]$.

تصبح المعادلة $f(x)=0$:

$$2t^2-\sqrt{3}t-2=0$$

وهي فعلاً معادلة من الدرجة الثانية في $t$، بمعاملات $a=2$، $b=-\sqrt{3}$، $c=-2$.

الخطوة 2 – حل المعادلة من الدرجة الثانية.

نحسب المميز:

$$\Delta =b^2-4ac=(-\sqrt{3}{)}^2-4\times 2\times (-2)=3+16=19$$

بما أن $\Delta =19>0$، فإن المعادلة تقبل جذرين حقيقيين مختلفين:

$$t_1=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{19}}{4}\text{و}{t}_2=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{19}}{4}$$

نحسب عددياً: $\sqrt{3}\approx 1,732$ و $\sqrt{19}\approx 4,359$.

إذن $t_1\approx \frac{1,732-4,359}{4}\approx \frac{-2,627}{4}\approx -0,657$ و $t_2\approx \frac{1,732+4,359}{4}\approx \frac{6,091}{4}\approx 1,523$.

الخطوة 3 – مناقشة صحة الجذور.

نذكّر بأن $t$ يجب أن ينتمي إلى $[-1;1]$.

• $t_1\approx -0,657$: لدينا $-1\le -0,657\le 1$، إذن $t_1$ صالح.
• $t_2\approx 1,523$: لدينا $t_2>1$، إذن $t_2\notin [-1;1]$.

نستنتج أن الجذر الوحيد المقبول هو $t_1=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{19}}{4}$، وأن المعادلة $\cos (x)=t_2$ لا تقبل أي حل حقيقي لأن $|t_2|>1$.

الخطوة 4 – الحل المثلثي لـ $t_1$ و $t_2$ (الخطأ هنا).

نضع $\alpha =\arccos \left(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{19}}{4}\right)$. بما أن $t_1\approx -0,657$، نحصل على $\alpha \approx \arccos (-0,657)\approx 2,285$ راديان.

المعادلة $\cos (x)=t_1$ تعطي على $[0;2\pi ]$:

$$x_1=\alpha \approx 2,285\text{و}{x}_2=2\pi -\alpha \approx 3,998$$

بالنسبة لـ $t_2\approx 1,523$، رغم أن $t_2>1$، نضع صورياً $\beta =\arccos (1,523)$ ونحل $\cos (x)=t_2$، مما يعطي على $[0;2\pi ]$:

$$x_3=\beta \approx \arccos (1,523)\approx 0,000\text{و}{x}_4=2\pi -\beta \approx 6,283$$

نحتفظ إذن بالقيم الأربع $x_1,x_2,x_3,x_4$.

الخطوة 5 – الاستنتاج بخصوص مجموعة الحلول.

بتجميع كل القيم التي تم إيجادها في الخطوة 4، نستنتج:

$$S=\left\{\alpha ,2\pi -\alpha ,\beta ,2\pi -\beta \right\}$$

أي عددياً:

$$S\approx \{2,285;3,998;0,000;6,283\}$$

تقبل المعادلة $f(x)=0$ إذن أربعة حلول على $[0;2\pi ]$.