حساب المثلثات الأولى باك ع.ر

حساب $r$.

نحدد $a=-\sqrt{3}$ و $b=1$، بحيث:

إذن $r=2$.

حساب $\phi$.

نبحث عن $\phi \in [0,2\pi [$ بحيث $\cos \phi =\frac{a}{r}=\frac{-\sqrt{3}}{2}$ و $\sin \phi =\frac{b}{r}=\frac{1}{2}$.

يطبّق التلميذ مباشرة الصيغة $\phi =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$:

بما أن $\phi$ يجب أن ينتمي إلى $[0,2\pi [$، نأخذ $\phi =-\frac{\pi }{6}+2\pi$، مما يعطي:

إذن $f(x)=2\cos \left(x-\frac{11\pi }{6}\right)$.

قيم $k$ التي من أجلها تقبل $E$ حلولًا.

المعادلة $2\cos \left(x-\frac{11\pi }{6}\right)=k$ تقبل حلولًا إذا وفقط إذا:

(هذه النتيجة مستقلة عن قيمة $\phi$، إذن تبقى صحيحة.)

حل $E$ لأجل $k=1$.

تصبح المعادلة:

ولدينا $\cos \theta =\frac{1}{2}⟺\theta =\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

الحالة 1: $x-\frac{11\pi }{6}=\frac{\pi }{3}+2k\pi ⟹x=\frac{11\pi }{6}+\frac{\pi }{3}+2k\pi =\frac{11\pi +2\pi }{6}+2k\pi =\frac{13\pi }{6}+2k\pi$.

في $[0,2\pi [$: لأجل $k=-1$، $x=\frac{13\pi }{6}-2\pi =\frac{\pi }{6}$. ✓

الحالة 2: $x-\frac{11\pi }{6}=-\frac{\pi }{3}+2k\pi ⟹x=\frac{11\pi }{6}-\frac{\pi }{3}+2k\pi =\frac{11\pi -2\pi }{6}+2k\pi =\frac{9\pi }{6}+2k\pi =\frac{3\pi }{2}+2k\pi$.

في $[0,2\pi [$: لأجل $k=0$، $x=\frac{3\pi }{2}$. ✓

الحلول في $[0,2\pi [$ هي إذن $\left\{\frac{\pi }{6},\frac{3\pi }{2}\right\}$.

حل المتراجحة $f(x)\ge 1$ في $[0,2\pi [$.

نحل $2\cos \left(x-\frac{11\pi }{6}\right)\ge 1⟺\cos \left(x-\frac{11\pi }{6}\right)\ge \frac{1}{2}$.

نعلم أن $\cos \theta \ge \frac{1}{2}⟺\theta \in \left[-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,\frac{\pi }{3}+2k\pi \right]$، $k\in \mathbb{Z}$.

إذن: $-\frac{\pi }{3}+2k\pi \le x-\frac{11\pi }{6}\le \frac{\pi }{3}+2k\pi$

في $[0,2\pi [$ (بأخذ $k=0$ و $k=-1$ حسب الحدود):

• لأجل $k=0$: $\frac{3\pi }{2}\le x$ و $x\le \frac{13\pi }{6}>2\pi$، إذن $x\in \left[\frac{3\pi }{2},2\pi \right[$.
• لأجل $k=-1$: $\frac{3\pi }{2}-2\pi =-\frac{\pi }{2}\le x$ و $x\le \frac{13\pi }{6}-2\pi =\frac{\pi }{6}$، إذن $x\in \left[0,\frac{\pi }{6}\right]$.

مجموعة الحلول هي $\left[0,\frac{\pi }{6}\right]\cup \left[\frac{3\pi }{2},2\pi \right[$.