حساب المثلثات الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 — تحليل $\sin (2x)-\sin (x)$

نستعمل المتطابقة $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$:

$$\sin (2x)-\sin (x)=2\sin (x)\cos (x)-\sin (x)$$

نحلّل بوضع $\sin (x)$ عاملًا مشتركًا:

$$=\sin (x)(2\cos (x)-1)$$

المعادلة $(E)$ إذن تكافئ:

$$\sin (x)(2\cos (x)-1)=0$$

المرحلة 2 — حل $(E)$ في $[0,2\pi [$

الجداء يكون منعدمًا إذا وفقط إذا كان أحد عامليه منعدمًا. نميّز حالتين:

الحالة 1: $\sin (x)=0$

في $[0,2\pi [$، الحلول هي $x=0$ و $x=\pi$.

الحالة 2: $2\cos (x)-1=0⟺\cos (x)=\frac{1}{2}$

في $[0,2\pi [$، الحلول هي $x=\frac{\pi }{3}$ و $x=\frac{5\pi }{3}$.

مجموعة حلول $(E)$ في $[0,2\pi [$ هي إذن:

$$S_E=\left\{0,\frac{\pi }{3},\pi ,\frac{5\pi }{3}\right\}$$

المرحلة 3 — حل $(E^{\prime })$ في $[0,2\pi [$

المعادلة $(E^{\prime })$ هي $\frac{\sin (2x)-\sin (x)}{\cos (x)-1}=0$.

القيم الممنوعة: $\cos (x)-1=0⟺\cos (x)=1⟺x=0$ في $[0,2\pi [$. إذن $x=0$ مستثناة من مجموعة تعريف $(E^{\prime })$.

باستعمال تحليل المرحلة 1، تُكتب $(E^{\prime })$:

$$\frac{\sin (x)(2\cos (x)-1)}{\cos (x)-1}=0$$

الكسر يكون منعدمًا إذا وفقط إذا كان بسطه منعدمًا (ومقامه غير منعدم). نحل إذن:

$$\sin (x)(2\cos (x)-1)=0\text{مع }x\ne 0$$

حسب المرحلة 2، حلول $\sin (x)(2\cos (x)-1)=0$ في $[0,2\pi [$ هي $\left\{0,\frac{\pi }{3},\pi ,\frac{5\pi }{3}\right\}$. باستثناء $x=0$، نحصل على:

$$S_{E^{\prime }}=\left\{\frac{\pi }{3},\pi ,\frac{5\pi }{3}\right\}$$

المرحلة 4 — حل بديل لـ $(E)$ بالقسمة

لنعد إلى المعادلة المحللة $\sin (x)(2\cos (x)-1)=0$.

بما أن $\sin (x)$ يظهر عاملًا، يمكننا قسمة الطرفين على $\sin (x)$، مما يعطي:

$$2\cos (x)-1=0⟺\cos (x)=\frac{1}{2}$$

في $[0,2\pi [$، الحلول هي $x=\frac{\pi }{3}$ و $x=\frac{5\pi }{3}$.

مجموعة حلول $(E)$ في $[0,2\pi [$ هي إذن:

$$S_E=\left\{\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3}\right\}$$

المرحلة 5 — مقارنة حلول $(E)$ و $(E^{\prime })$

حسب المرحلة 4، $S_E=\left\{\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3}\right\}$.

حسب المرحلة 3، $S_{E^{\prime }}=\left\{\frac{\pi }{3},\pi ,\frac{5\pi }{3}\right\}$.

نلاحظ أن $S_E\subset S_{E^{\prime }}$: جميع حلول $(E)$ (حسب هذا الحساب) هي حلول لـ $(E^{\prime })$.

وفعلًا، $x=\pi$ حل لـ $(E^{\prime })$ لكن ليس لـ $(E)$ حسب هذه النتيجة، لأن $\sin (\pi )=0$ و $\cos (\pi )-1=-2\ne 0$: الكسر معرّف فعلًا في $x=\pi$، والبسط $\sin (\pi )(2\cos (\pi )-1)=0\cdot (-3)=0$، إذن $x=\pi$ حل لـ $(E^{\prime })$ فقط.

الخلاصة: حلول $(E)$ التي هي أيضًا حلول لـ $(E^{\prime })$ هي $x=\frac{\pi }{3}$ و $x=\frac{5\pi }{3}$.