حساب المثلثات الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 – تخطيط ${\sin }^{2}x$

نستعمل صيغة المضاعفة $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$، ومنه:

$${\sin }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$

إذن:

$$2{\sin }^{2}x=1+\cos 2x$$

المرحلة 2 – تطوير $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$

نطوّر باستعمال صيغة الجمع:

$$\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\cos 2x\cos \frac{\pi }{3}+\sin 2x\sin \frac{\pi }{3}$$

بما أن $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ و $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$، نحصل على:

$$\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$$

المرحلة 3 – تعبير $f(x)$

بتعويض نتائج المرحلتين 1 و 2:

$$f(x)=\left(1+\cos 2x\right)+\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$$

$$f(x)=1+\frac{3}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$$

نضعها على شكل $A\cos (2x+\phi )+B$. نبحث عن $A>0$ بحيث:

$$\frac{3}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x=A\cos (2x+\phi )$$

مع $A\cos \phi =\frac{3}{2}$ و $-A\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$، أي $A\sin \phi =-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

نحسب:

$$A=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{3}$$

ثم $\cos \phi =\frac{3/2}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ و $\sin \phi =\frac{-\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{2}$، إذن $\phi =-\frac{\pi }{6}$.

إذن:

$$\boxed{f(x)=\sqrt{3}\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+1}$$

المرحلة 4 – القيم القصوى لـ $f$ على $\mathbb{R}$ وعلى $[0,\pi ]$

بما أن $-1\le \cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\le 1$، لدينا:

$$1-\sqrt{3}\le f(x)\le 1+\sqrt{3}$$

الحد الأقصى: $f(x)=1+\sqrt{3}$ عندما $\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=1$، أي $2x-\frac{\pi }{6}=0$، أي $x=\frac{\pi }{12}\in [0,\pi ]$. ✓

الحد الأدنى: $f(x)=1-\sqrt{3}$ عندما $\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=-1$، أي $2x-\frac{\pi }{6}=\pi$، أي $x=\frac{7\pi }{12}\in [0,\pi ]$. ✓

المرحلة 5 – حساب $I$ عبر الصيغة المبسطة

$$I=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\left[\sqrt{3}\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+1\right]dx$$

نحسب كل حد:

$$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}1dx=\frac{\pi }{2}$$

$$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{3}\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)dx=\sqrt{3}{\left[\frac{\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)}{2}\right]}_0^{\pi /2}$$

$$=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[\sin \left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)-\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)\right]=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[\sin \frac{5\pi }{6}+\sin \frac{\pi }{6}\right]$$

$$=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right]=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

إذن:

$$\boxed{I=\frac{\pi }{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

المرحلة 6 – التحقق بالحساب المباشر

ننطلق من جديد من $f(x)=2{\sin }^{2}x+\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$.

باستعمال ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ بشكل صحيح (تحقق مستقل)، سنحصل على $2{\sin }^{2}x=1-\cos 2x$، و:

$$f(x)=1-\cos 2x+\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x=1-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$$

نكامل مباشرة:

$$I_{\text{direct}}=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\left(1-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x\right)dx$$

$$={\left[x-\frac{\sin 2x}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}\cos 2x\right]}_0^{\pi /2}$$

$$=\left(\frac{\pi }{2}-0-\frac{\sqrt{3}}{4}\cos \pi \right)-\left(0-0-\frac{\sqrt{3}}{4}\cos 0\right)$$

$$=\left(\frac{\pi }{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right)-\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{\pi }{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$$

يؤكد التحقق $I=\frac{\pi }{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$. (ملاحظة: الانسجام الظاهري هنا سببه أن خطأ المرحلة 1 نقل نتيجة تعطي، بالصدفة على مستوى التكامل، نفس القيمة العددية — لكن الصيغة المبسطة لـ $f$ خاطئة.)