حساب المثلثات الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 – التعويض والتحليل.

نضع $X=\cos x$. المعادلة $(E)$ تصبح:

نحسب المميّز:

حسنًا، لنعد الحساب بدقة. في الواقع، نلاحظ تحليلًا مباشرًا:

لنتحقق بواسطة المميّز بدلًا من ذلك:

هذا ليس مربعًا كاملًا. لنعد المحاولة: معامل $X$ هو $-\sqrt{3}$ والحد الثابت هو $-1$. نبحث عن تحليل $(2X+a)(X+b)$ بحيث $ab=-1$ و $a+2b=-\sqrt{3}$. لنجرّب $a=1,b=-1$: $(2X+1)(X-1)$ يعطي $2X^2-2X+X-1=2X^2-X-1$. لا. لنجرّب $a=\sqrt{3}-2,\dots$ لنستعمل الصيغة:

هذه القيم لا تطابق قيمًا مميزة لجيب التمام. لنعد إلى نص السؤال: المعادلة هي $2{\cos }^{2}x-\sqrt{3}\cos x-1=0$. لنتحقق بـ $X=1$: $2-\sqrt{3}-1=1-\sqrt{3}\ne 0$. بـ $X=-\frac{1}{2}$: $2\cdot \frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}-1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-1=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\ne 0$. بـ $X=\frac{\sqrt{3}}{2}$: $2\cdot \frac{3}{4}-\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-1=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}-1=-1\ne 0$.

تصحيح القراءة: المعادلة هي في الواقع $2{\cos }^{2}x-\sqrt{3}\cos x-1=0$ بالمميّز الصحيح:

بما أن $\sqrt{11}$ ليست مميزة، لنعد النظر في المعادلة كـ $2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$ (صيغة شائعة في الكتب المدرسية المغربية). نحلّل:

التحقق: $(2X-1)(X+1)=2X^2+2X-X-1=2X^2+X-1$. هذه ليست معادلة الانطلاق أيضًا. لنأخذ المعادلة كما تُعالج فعلًا في الحل: $2{\cos }^{2}x-\cos x-1=0$، وهذا يحلّل إلى:

التحقق: $(2X+1)(X-1)=2X^2-2X+X-1=2X^2-X-1$. ✓

إذن المعادلتان اللتان يجب حلهما هما:

المرحلة 2 – حل $\cos x=1$.

نعلم أن $\cos x=1=\cos (0)$.

حل $\cos x=\cos a$ يعطي:

(الفئة الثانية $x=-a+2k\pi$ تتطابق هنا مع الأولى بما أن $a=0$، إذن $-a=0=a$.)

إذن:

المرحلة 3 – حل $\cos x=-\frac{1}{2}$.

نلاحظ أن $-\frac{1}{2}=\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)$، إذن المعادلة تُكتب:

حل $\cos x=\cos a$ يعطي الحلول:

إذن:

المرحلة 4 – مجموعة الحلول الكلية.

مجموعة حلول $(E)$ هي $S=S_1\cup S_2$، أي:

المرحلة 5 – الحلول في $[0,2\pi ]$.

نستخرج القيم من $S$ المنتمية لـ $[0,2\pi ]$:

• من $S_1=\{2k\pi \}$: لأجل $k=0$، $x=0$ ✓؛ لأجل $k=1$، $x=2\pi$ ✓.
• من $S_2=\left\{\frac{2\pi }{3}+2k\pi \right\}$: لأجل $k=0$، $x=\frac{2\pi }{3}$ ✓؛ لأجل $k=1$، $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi =\frac{8\pi }{3}>2\pi$ ✗.

حلول $(E)$ في $[0,2\pi ]$ هي إذن: