حساب المثلثات الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 – تذكير بشأن $\arccos$

الدالة $\arccos$ معرّفة على $[-1,1]$، وقيمها في $[0,\pi ]$. تحقق:

$$\forall x\in [0,\pi ],\arccos (\cos x)=x$$

و $\cos (\arccos (t))=t$ لكل $t\in [-1,1]$. بالخصوص، $\arccos (\cos x)=x$ إذا وفقط إذا كان $x\in [0,\pi ]$؛ بالنسبة لـ $x\notin [0,\pi ]$، يجب إرجاع الزاوية إلى $[0,\pi ]$ باستعمال خصائص جيب التمام.

المرحلة 2 – تبسيط $f(x)=\arccos (\cos (3x-\pi ))$

نضع $u=3x-\pi$. نبحث عن التعبير عن $\arccos (\cos u)$ حسب ما إذا كان $u\in [0,\pi ]$ أم لا.

الدالة $t\mapsto \arccos (\cos t)$ دورية بدور $2\pi$ وتحقق:

• إذا كان $u\in [0,\pi ]$: $\arccos (\cos u)=u$.
• إذا كان $u\in [-\pi ,0]$: $\cos u=\cos (-u)$ و $-u\in [0,\pi ]$، إذن $\arccos (\cos u)=-u$.

الشرط $u=3x-\pi \in [0,\pi ]$ يكافئ $x\in \left[\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right]$ (بترديد $\frac{2\pi }{3}$، أي نصف الدور).

إذن، على دور $\left[\frac{\pi }{3}+k\cdot \frac{2\pi }{3},\frac{2\pi }{3}+k\cdot \frac{2\pi }{3}\right]$:

$$f(x)=3x-\pi \text{(متزايدة)}$$

وعلى $\left[k\cdot \frac{2\pi }{3},\frac{\pi }{3}+k\cdot \frac{2\pi }{3}\right]$:

$$f(x)=-(3x-\pi )=\pi -3x\text{(متناقصة)}$$

إذن $f$ دورية بدور $\frac{2\pi }{3}$ (على شكل مثلثات، كما هو الحال لكل دالة $x\mapsto \arccos (\cos (ax+b))$ التي دورها $\frac{2\pi }{|a|}$).

المرحلة 3 – حساب $f\left(\frac{\pi }{3}\right)$، $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)$ و $f\left(-\frac{\pi }{9}\right)$

حساب $f\left(\frac{\pi }{3}\right)$:

لدينا $3\times \frac{\pi }{3}-\pi =\pi -\pi =0\in [0,\pi ]$، إذن:

$$f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\arccos (\cos 0)=0$$

حساب $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)$:

لدينا $3\times \frac{2\pi }{3}-\pi =2\pi -\pi =\pi \in [0,\pi ]$، إذن:

$$f\left(\frac{2\pi }{3}\right)=\arccos (\cos \pi )=\pi$$

حساب $f\left(-\frac{\pi }{9}\right)$:

لدينا $u=3\times \left(-\frac{\pi }{9}\right)-\pi =-\frac{\pi }{3}-\pi =-\frac{4\pi }{3}$.

بما أن $-\frac{4\pi }{3}\notin [0,\pi ]$، نستعمل دورية جيب التمام بدور $2\pi$:

$$\cos \left(-\frac{4\pi }{3}\right)=\cos \left(-\frac{4\pi }{3}+2\pi \right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)$$

و $\frac{2\pi }{3}\in [0,\pi ]$، إذن:

$$f\left(-\frac{\pi }{9}\right)=\arccos \left(\cos \frac{2\pi }{3}\right)=\frac{2\pi }{3}$$

المرحلة 4 – حل $f(x)=\frac{\pi }{2}$ في $[0,2\pi ]$

حسب المرحلة 2، $f(x)=\arccos (\cos (3x-\pi ))$. نبحث عن $f(x)=\frac{\pi }{2}$، أي:

$$\arccos (\cos (3x-\pi ))=\frac{\pi }{2}$$

بما أن $\arccos$ متباينة على $[0,\pi ]$، فإن هذه المعادلة تكافئ:

$$\cos (3x-\pi )=\cos \frac{\pi }{2}=0$$

إذن:

$$3x-\pi =\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

$$3x=\pi +\frac{\pi }{2}+k\pi =\frac{3\pi }{2}+k\pi$$

$$x=\frac{\pi }{2}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$$

نختار الحلول في $[0,2\pi ]$:

• $k=0$: $x=\frac{\pi }{2}$
• $k=1$: $x=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}$
• $k=2$: $x=\frac{\pi }{2}+\frac{2\pi }{3}=\frac{7\pi }{6}$
• $k=3$: $x=\frac{\pi }{2}+\pi =\frac{3\pi }{2}$
• $k=4$: $x=\frac{\pi }{2}+\frac{4\pi }{3}=\frac{11\pi }{6}$
• $k=5$: $x=\frac{\pi }{2}+\frac{5\pi }{3}=\frac{13\pi }{6}>2\pi$ (مرفوضة)

لكن الآن، لنطبّق مباشرة تبسيط $f$: بما أن $f(x)=\arccos (\cos (3x-\pi ))$، نضع مباشرة $\arccos (\cos (3x-\pi ))=3x-\pi$ (دون التحقق مما إذا كان $3x-\pi \in [0,\pi ]$)، مما يعطي:

$$3x-\pi =\frac{\pi }{2}⟹x=\frac{\pi }{2}$$

نستنتج إذن أن الحل الوحيد في $[0,2\pi ]$ هو $x=\frac{\pi }{2}$.

المرحلة 5 – التحقق من الحل الموجود

لأجل $x=\frac{\pi }{2}$: $3\times \frac{\pi }{2}-\pi =\frac{\pi }{2}\in [0,\pi ]$، إذن $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}$. ✓

باستعمال نتيجة المرحلة 4 (المنحازة)، نؤكد أن $x=\frac{\pi }{2}$ هو الحل الوحيد في $[0,2\pi ]$.