طاليس وفيثاغورس الثالثة إعدادي

المرحلة 1 – حساب $AM$

النقطتان $M$ و $B$ تقعان على القطعة $[AB]$، مع وقوع $M$ بين $A$ و $B$. لدينا إذن:

$$AM=AB-BM=15-9=6\text{ سم}$$

إذن $AM=6$ سم.

المرحلة 2 – وضع مبرهنة طاليس

بما أن $MN\parallel BC$ وأن $M\in [AB]$، $N\in [AC]$، فإن مبرهنة طاليس في المثلث $ABC$ (مع المستقيم الموازي $MN$) تعطي:

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$

نحسب النسبة المعلومة:

$$\frac{AM}{AB}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$$

هذه النسبة محصورة فعلاً بين $0$ و $1$، وهذا منسجم مع كون $M$ واقعة بين $A$ و $B$.

المرحلة 3 – حساب $AN$ (المرحلة التي تحتوي على الخطأ)

حسب تساوي النسب، يجب حل:

$$\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}$$

نعوّض بـ $AC=12$ سم. لكن بدل استعمال $AM=6$ سم و $AB=15$ سم، نخلط ونكتب خطأً:

$$\frac{AN}{AC}=\frac{BM}{AB}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$$

نستعمل إذن $BM=9$ سم في البسط بدل $AM=6$ سم، دون ملاحظة أن $BM/AB$ ليست النسبة الصحيحة (فهي ليست $AM/AB$).

نستنتج:

$$AN=\frac{3}{5}\times AC=\frac{3}{5}\times 12=\frac{36}{5}=7,2\text{ سم}$$

المرحلة 4 – حساب $NC$

نستعمل النتيجة (الخاطئة) $AN=7,2$ سم:

$$NC=AC-AN=12-7,2=4,8\text{ سم}$$

إذن $NC=4,8$ سم.

المرحلة 5 – حساب $MN$ والتحقق

نطبق الصيغة المعطاة في السؤال بالنسبة (الخاطئة) $\frac{AM}{AB}=\frac{3}{5}$ (كما استُعملت في المرحلة 3):

$$MN=\frac{3}{5}\times BC=\frac{3}{5}\times 10=6\text{ سم}$$

نتحقق:

$$\frac{MN}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$

هذه النسبة تساوي $\frac{AN}{AC}=\frac{7,2}{12}=\frac{3}{5}$، إذن النسبتان متساويتان فعلاً — الحل يبدو منسجماً داخلياً، لكنه مبني على نسبة خاطئة.