طاليس وفيثاغورس الثالثة إعدادي

المرحلة 1 – تحديد الوضعية

المستقيمان $(AB)$ و $(CD)$ يتقاطعان في $M$. المستقيمان $(AC)$ و $(BD)$ متوازيان، والنقطة $M$ تقع بين هذين المتوازيين (أي بين القطعتين $AC$ و $BD$).

نحن إذن في وضعية طاليس المتقاطعة (وضعية «الفراشة»): القاطعان يتقاطعان في نقطة داخلية بالنسبة للمتوازيين.

في هذه الوضعية، المثلثان المتكونان هما $$△MAC\text{و}△MBD.$$هذان المثلثان متشابهان (زوايا متبادلة داخلية متساوية لأن $(AC)\parallel (BD)$، وزوايا في الرأس $M$ متساوية لأنها متقابلة بالرأس):
$\widehat{MAC}=\widehat{MBD}$ (متبادلتان داخليتان)، $\widehat{MCA}=\widehat{MDB}$ (متبادلتان داخليتان)، $\widehat{AMC}=\widehat{BMD}$ (متقابلتان بالرأس).

إذن $△MAC\sim △MBD$.

المرحلة 2 – كتابة نسب طاليس (المرحلة التي تحتوي على الخطأ)

بما أن $△MAC\sim △MBD$، فإن تناظر الرؤوس هو $M\leftrightarrow M$، $A\leftrightarrow B$، $C\leftrightarrow D$.

نكتب إذن نسب الأضلاع المتناظرة. بالخلط مع الوضعية الكلاسيكية، نضع:

أي، بتجميع أطوال نفس القاطع في البسط والمقام:

نعوّض بالقيم المعلومة $MA=3$، $MC=4$، $MB=5$:

المرحلة 3 – حساب $x=MD$

نحل المعادلة المحصل عليها في المرحلة السابقة:

إذن $MD=\frac{20}{3}$ سم.

المرحلة 4 – حساب $BD$

التشابه $△MAC\sim △MBD$ يعطي أيضاً:

نعوّض بـ $MA=3$، $MB=5$، $AC=6$:

إذن $BD=10$ سم.

المرحلة 5 – التحقق باستعمال النسبة $\frac{AC}{BD}$

نسبة تشابه المثلثين هي:

نتحقق باستعمال الضلعين $MC$ و $MD$: يجب أن يكون $\frac{MC}{MD}=k=\frac{3}{5}$.

وبنتائجنا: $\frac{MC}{MD}=\frac{4}{\frac{20}{3}}=\frac{4\times 3}{20}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$. ✓

التحقق منسجم مع القيم المحسوبة.