طاليس وفيثاغورس الثالثة إعدادي

المرحلة 1 – طبيعة المثلث $ABC$

نحسب مربعات الأضلاع الثلاثة:

$$A{B}^2=10^2=100$$

$$A{C}^2+B{C}^2=8^2+6^2=64+36=100$$

نلاحظ أن $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2=100$.

حسب عكس مبرهنة فيتاغورس، المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $C$ (الزاوية القائمة في $C$، لأن $AB$ هو الضلع المقابل لـ $C$ ولأن $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$).

المرحلة 2 – تطبيق مبرهنة طاليس لإيجاد $DE$ و $AE$

لدينا $D\in [AB]$ و $E\in [AC]$، مع $(DE)\parallel (BC)$.

حسب مبرهنة طاليس في المثلث $ABC$:

$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$$

نعلم أن $AD=4$ سم و $AB=10$ سم، إذن:

$$\frac{AD}{AB}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$$

نستنتج:

$$AE=AC\times \frac{2}{5}=8\times \frac{2}{5}=\frac{16}{5}=3,2\text{ سم}$$

$$DE=BC\times \frac{2}{5}=6\times \frac{2}{5}=\frac{12}{5}=2,4\text{ سم}$$

المرحلة 3 – التحقق من أن $\widehat{AED}$ قائمة في المثلث $ADE$

أضلاع المثلث $ADE$ هي:

• $AD=4$ سم
• $AE=3,2$ سم
• $DE=2,4$ سم

نحدد أكبر ضلع: إنه $AD=4$ سم.

نحسب $A{E}^2+D{E}^2$:

$$A{E}^2+D{E}^2=(3,2{)}^2+(2,4{)}^2=10,24+5,76=16$$

نحسب $A{D}^2$:

$$A{D}^2=4^2=16$$

بما أن $A{D}^2=A{E}^2+D{E}^2$، فحسب عكس مبرهنة فيتاغورس، المثلث $ADE$ قائم الزاوية.

وبما أن الضلع $AD$ هو أكبر ضلع، فإن الزاوية القائمة في $A$، أي $\widehat{DAE}=90°$.

المرحلة 4 – حساب $\cos (\widehat{DAE})$

بما أن الزاوية القائمة في $A$ (حسب المرحلة السابقة)، فإن الزاوية $\widehat{DAE}$ تساوي $90°$.

لدينا إذن:

$$\cos (\widehat{DAE})=\cos (90°)=0$$