طاليس وفيثاغورس الثالثة إعدادي

المرحلة 1 — حساب المسافات.

نستعمل صيغة المسافة بين نقطتين: إذا كانت $P(x_1;y_1)$ و $Q(x_2;y_2)$، فإن $PQ=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$.

$$AB=\sqrt{(3-1{)}^2+(5-2{)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$

$$AC=\sqrt{(5-1{)}^2+(8-2{)}^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$$

$$AM=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

$$AN=\sqrt{(7-1{)}^2+(10-2{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

المرحلة 2 — حساب النسبتين ومقارنتهما.

نحسب كل نسبة باستعمال المسافات المحصل عليها في المرحلة 1:

$$\frac{AM}{AB}=\frac{5}{\sqrt{13}}$$

$$\frac{AN}{AC}=\frac{10}{2\sqrt{13}}=\frac{5}{\sqrt{13}}$$

نلاحظ أن $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{5}{\sqrt{13}}$$

إذن النسبتان متساويتان.

المرحلة 3 — تطبيق عكس مبرهنة طاليس.

لدينا $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$.

حسب عكس مبرهنة طاليس، وبما أن النسبتين $\frac{AM}{AB}$ و $\frac{AN}{AC}$ متساويتان، يمكننا أن نستنتج أن المستقيمين $(MN)$ و $(BC)$ متوازيان.

المرحلة 4 — حساب $MN$ باستعمال مبرهنة طاليس.

بما أن $(MN)\parallel (BC)$ (نتيجة مسلَّم بها من المرحلة السابقة)، نطبق مبرهنة طاليس في الوضعية المنطلقة من النقطة $A$:

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$

نحسب أولاً $BC$:

$$BC=\sqrt{(5-3{)}^2+(8-5{)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$

إذن:

$$MN=BC\times \frac{AM}{AB}=\sqrt{13}\times \frac{5}{\sqrt{13}}=5$$

نستنتج أن $MN=5$.