المتتاليات العددية الثانية باك ع.ت

الخطوة 1 — التأطير $0\le u_n\le 6$ بالتراجع.

الأساس: $u_0=0$، إذن $0\le u_0\le 6$. ✓

الوراثة: لنفترض $0\le u_n\le 6$ من أجل $n\ge 0$ معين. إذن $0\le \frac{1}{2}{u}_n\le 3$، ومنه $3\le \frac{1}{2}{u}_n+3\le 6$، أي $3\le u_{n+1}\le 6$. وبالتالي $0\le u_{n+1}\le 6$.

بالتراجع، $0\le u_n\le 6$ من أجل كل $n\ge 0$. $■$

الخطوة 2 — اتجاه التغير.

نحسب الفرق:

$$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2}{u}_n+3-u_n=3-\frac{1}{2}{u}_n=\frac{6-u_n}{2}$$

حسب الخطوة 1، $u_n\le 6$، إذن $6-u_n\ge 0$، وبالتالي $u_{n+1}-u_n\ge 0$. المتتالية $(u_n)$ متزايدة.

الخطوة 3 — نهاية المتتالية.

بما أن $u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+3$، بالانتقال إلى النهاية ورمز $\ell$ لنهاية $(u_n)$، نحصل على:

$$\ell =\frac{1}{2}\ell +3$$

أي $\ell -\frac{1}{2}\ell =3$، إذن $\frac{1}{2}\ell =3$، ومنه $\ell =6$.

الاستنتاج: المتتالية $(u_n)$ تتقارب و $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=6$.