المتتاليات العددية الثانية باك ع.ت

الخطوة 1 — المنهجية.

لدراسة اتجاه التغير، ندرس إشارة الفرق $u_{n+1}-u_n$ من أجل كل $n\ge 1$.

الخطوة 2 — عبارة $u_{n+1}$.

نعوض $n$ بـ $n+1$ في الصيغة:

$$u_{n+1}=\frac{(n+1)+2}{(n+1)+1}=\frac{n+3}{n+2}$$

الخطوة 3 — حساب الفرق.

نوحد المقام:

$$u_{n+1}-u_n=\frac{n+3}{n+2}-\frac{n+2}{n+1}=\frac{(n+3)(n+1)-(n+2)(n+2)}{(n+2)(n+1)}$$

لنطور البسط:

$$(n+3)(n+1)=n^2+4n+3,(n+2{)}^2=n^2+4n+4$$

إذن البسط يساوي $(n^2+4n+3)-(n^2+4n+4)=-1$.

وبالتالي:

$$u_{n+1}-u_n=\frac{-1}{(n+2)(n+1)}$$

الخطوة 4 — الاستنتاج بخصوص الإشارة.

من أجل $n\ge 1$، البسط $-1$ غير منعدم والمقام $(n+2)(n+1)$ موجب تمامًا. خارج قسمة عدد سالب على عدد موجب يكون موجبًا، إذن:

$$u_{n+1}-u_n=\frac{-1}{(n+2)(n+1)}>0$$

بما أن الفرق $u_{n+1}-u_n$ موجب، فإن المتتالية $(u_n)$ متزايدة.