المتتاليات العددية الثانية باك ع.ت

الخطوة 1 — وضع التراجع.

نرمز بـ $P(n)$ للخاصية: « $u_n<4$ ». سنُثبت $P(n)$ من أجل كل عدد صحيح $n\ge 0$ بالتراجع.

الخطوة 2 — الأساس.

من أجل $n=0$: $u_0=1$. والحال أن $1<4$، إذن $P(0)$ صحيحة. ✓

الخطوة 3 — الوراثة.

ليكن $n\ge 0$ عددًا صحيحًا. نفترض $P(n)$ صحيحة، أي $u_n<4$، ونريد إثبات $P(n+1)$، أي $u_{n+1}<4$.

ننطلق من المتراجحة المراد إثباتها، $u_{n+1}<4$، أي $\sqrt{3u_n+4}<4$. برفع الطرفين إلى مربع (الطرفان موجبان)، يعادل ذلك $3u_n+4<16$، أي $u_n<4$.

والحال أنه، حسب فرضية التراجع، $u_n<4$. المتراجحة $u_{n+1}<4$ محققة إذن، مما يُثبت $P(n+1)$.

الخطوة 4 — الاستنتاج.

الخاصية صحيحة عند الرتبة $0$ وموروثة. حسب مبدأ التراجع، من أجل كل عدد صحيح $n\ge 0$، $u_n<4$. $■$