المتتاليات العددية الأولى باك ع.ر

الخطوة 1 — حساب الحدود الأولى.

نطبق علاقة التراجع $u_{n+1}=3u_n-4$ انطلاقًا من $u_0=1$:

الحدود الثلاثة الأولى هي إذن $u_1=-1$، $u_2=-7$، $u_3=-25$.

الخطوة 2 — المتتالية ليست حسابية ولا هندسية.

التحقق الحسابي: نحسب الفروق المتتالية:

بما أن $-2\ne -6$، فإن المتتالية ليست حسابية.

التحقق الهندسي: نحسب النسب المتتالية:

بما أن $-1\ne 7$، فإن المتتالية ليست هندسية.

الخطوة 3 — تحديد الحد العام $u_n$.

علاقة التراجع هي $u_{n+1}=3u_n-4$. نتعرف على متتالية حسابية-هندسية بـ $a=3$ و $b=-4$. بما أن $a=3\ne 1$، يمكننا تطبيق مباشرة صيغة الحد العام لمتتالية هندسية أساسها $a=3$:

إذن $u_n=3^n$ من أجل كل $n\in \mathbb{N}$.

نحسب إذن: $u_{10}=3^{10}=59049$.

الخطوة 4 — اتجاه تغير $(u_n)$.

حسب النتيجة المحصل عليها، $u_n=3^n$. ندرس إشارة $u_{n+1}-u_n$:

بما أن $3^n>0$ من أجل كل $n\in \mathbb{N}$، فإن $u_{n+1}-u_n>0$ من أجل كل $n$.

المتتالية $(u_n)$ إذن متزايدة تمامًا.

الخطوة 5 — تقارب المتتالية.

بما أن $u_n=3^n$ وأن $3>1$، فإن:

المتتالية $(u_n)$ متباعدة: تؤول إلى $+\infty$.