المتتاليات العددية الأولى باك ع.ر

الخطوة 1 — حساب $u_2$ و $u_3$، التخمين.

لدينا $u_1=2$. علاقة التراجع تعطي:

$$u_2=\frac{3\times 2+2}{2+2}=\frac{8}{4}=2$$

هممم، لنعد الحساب بـ $u_1=2$:

$$u_2=\frac{3(2)+2}{2+2}=\frac{8}{4}=2$$

لنأخذ بدلًا من ذلك $u_1=\frac{3}{2}$ للحصول على مثال أغنى... لا، المعطى يعطي $u_1=2$، إذن $u_2=2$ وبنفس العلاقة $u_3=2$. يبدو أن المتتالية ثابتة تساوي $2$. نخمّن أنه من أجل كل $n\ge 1$: $1\le u_n\le 2$.

ملاحظة: $u_1=2$ يحقق فعلًا $1\le 2\le 2$. التخمين معقول.

الخطوة 2 — أساس التراجع.

نريد إثبات بالتراجع الخاصية $\mathcal{P}(n)$: « $1\le u_n\le 2$ » من أجل كل $n\ge 1$.

الأساس عند $n=0$: نتحقق من $\mathcal{P}(0)$.

والحال أن $u_0$ غير معرف من طرف المعطى؛ المتتالية تبدأ من $n=1$. نكتفي إذن بملاحظة أن $u_1=2$ وأن $1\le 2\le 2$، وهذا صحيح. الأساس يُعتبر إذن مكتسبًا.

الخطوة 3 — وراثة التراجع.

لنفترض أن $\mathcal{P}(n)$ صحيحة من أجل $n\ge 1$ معين، أي $1\le u_n\le 2$. لنبيّن $\mathcal{P}(n+1)$: $1\le u_{n+1}\le 2$.

لدينا $u_{n+1}=\frac{3u_n+2}{u_n+2}$.

التحديد من الأسفل: بما أن $u_n\ge 1$، فإن $3u_n+2\ge 5$ و $u_n+2\le 4$، إذن:

$$u_{n+1}=\frac{3u_n+2}{u_n+2}\ge \frac{3(1)+2}{1+2}=\frac{5}{3}>1$$

إذن $u_{n+1}\ge 1$. ✓

التحديد من الأعلى: نحسب $u_{n+1}-2=\frac{3u_n+2}{u_n+2}-2=\frac{3u_n+2-2(u_n+2)}{u_n+2}=\frac{u_n-2}{u_n+2}$.

بما أن $u_n\le 2$، فإن $u_n-2\le 0$ و $u_n+2>0$، إذن $u_{n+1}-2\le 0$، أي $u_{n+1}\le 2$. ✓

الوراثة مُثبتة. حسب مبدأ التراجع، $1\le u_n\le 2$ من أجل كل $n\ge 1$.

الخطوة 4 — رتابة $(u_n)$.

نحسب $u_{n+1}-1$:

$$u_{n+1}-1=\frac{3u_n+2}{u_n+2}-1=\frac{3u_n+2-(u_n+2)}{u_n+2}=\frac{2u_n}{u_n+2}$$

هممم، المعطى يطلب $u_{n+1}-1=\frac{2(u_n-1)}{u_n+2}$. لنتحقق:

$$\frac{2(u_n-1)}{u_n+2}=\frac{2u_n-2}{u_n+2}$$

و $u_{n+1}-1=\frac{3u_n+2}{u_n+2}-1=\frac{3u_n+2-u_n-2}{u_n+2}=\frac{2u_n}{u_n+2}$.

نلاحظ أن $\frac{2u_n}{u_n+2}\ne \frac{2(u_n-1)}{u_n+2}$ عمومًا. لندرس بدلًا من ذلك الرتابة عبر $u_{n+1}-u_n$:

$$u_{n+1}-u_n=\frac{3u_n+2}{u_n+2}-u_n=\frac{3u_n+2-u_n(u_n+2)}{u_n+2}=\frac{3u_n+2-u_n^2-2u_n}{u_n+2}=\frac{-u_n^2+u_n+2}{u_n+2}$$

نحلل البسط: $-u_n^2+u_n+2=-(u_n^2-u_n-2)=-(u_n-2)(u_n+1)$.

بما أن $1\le u_n\le 2$، فإن $u_n-2\le 0$ و $u_n+1\ge 2>0$، إذن $(u_n-2)(u_n+1)\le 0$، أي $-(u_n-2)(u_n+1)\ge 0$.

إذن $u_{n+1}-u_n\ge 0$: المتتالية $(u_n)$ متزايدة.

الخطوة 5 — التقارب والنهاية.

المتتالية $(u_n)$ متزايدة (الخطوة 4) ومحدودة من الأعلى بـ $2$ (الخطوة 3). حسب مبرهنة التقارب الرتيب، $(u_n)$ تتقارب.

لنرمز بـ $\ell =\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$. بالانتقال إلى النهاية في العلاقة $u_{n+1}=\frac{3u_n+2}{u_n+2}$، نحصل على:

$$\ell =\frac{3\ell +2}{\ell +2}$$

$$\ell (\ell +2)=3\ell +2⟹{\ell }^2+2\ell =3\ell +2⟹{\ell }^2-\ell -2=0$$

$$\Delta =1+8=9⟹\ell =\frac{1\pm 3}{2}$$

إذن $\ell =2$ أو $\ell =-1$. بما أن $u_n\ge 1$ من أجل كل $n\ge 1$، فإن $\ell \ge 1$ بالضرورة، إذن $\ell =2$.

$$\boxed{\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2}$$