المتتاليات العددية الأولى باك ع.ر

الخطوة 1 — إيجابية $u_n$ من أجل كل $n\ge 0$.

نستعمل البرهان بالتراجع.

الأساس: $u_0=3>0$. ✓

الوراثة: لنفترض $u_n>0$ من أجل $n\ge 0$ معين. إذن:

$$u_{n+1}=\frac{u_n^2+2}{2u_n}$$

البسط $u_n^2+2\ge 2>0$ والمقام $2u_n>0$ حسب فرضية التراجع. إذن $u_{n+1}>0$.

حسب مبدأ التراجع، $u_n>0$ من أجل كل $n\ge 0$. $■$

الخطوة 2 — التحديد من الأسفل بـ $\sqrt{2}$ من أجل كل $n\ge 1$.

من أجل $n\ge 1$، نكتب (باستعمال $u_{n-1}>0$ المُثبتة في الخطوة 1):

$$u_n-\sqrt{2}=\frac{u_{n-1}^2+2}{2u_{n-1}}-\sqrt{2}=\frac{u_{n-1}^2+2-2\sqrt{2}{u}_{n-1}}{2u_{n-1}}=\frac{(u_{n-1}-\sqrt{2}{)}^2}{2u_{n-1}}$$

بما أن $(u_{n-1}-\sqrt{2}{)}^2\ge 0$ و $2u_{n-1}>0$، نستنتج أن $u_n-\sqrt{2}\ge 0$، أي $u_n\ge \sqrt{2}$ من أجل كل $n\ge 1$. $■$

الخطوة 3 — تناقص $(u_n)$ ابتداءً من الرتبة $1$.

من أجل $n\ge 1$، نحسب:

$$u_{n+1}-u_n=\frac{u_n^2+2}{2u_n}-u_n=\frac{u_n^2+2-2u_n^2}{2u_n}=\frac{2-u_n^2}{2u_n}$$

ولكن، من أجل $n\ge 1$، لدينا $u_n\ge \sqrt{2}$، إذن $u_n^2\ge 2$، مما يعطي $2-u_n^2\le 0$. علاوة على ذلك $2u_n>0$. إذن:

$$u_{n+1}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\le 0$$

المتتالية $(u_n)$ متناقصة إذن ابتداءً من الرتبة $1$. $■$

الخطوة 4 — التقارب وحساب النهاية. [الخطوة التي تحتوي على الخطأ]

المتتالية $(u_n)$ متناقصة ابتداءً من الرتبة $1$ ومحدودة من الأسفل بـ $\sqrt{2}>0$.

حساب النهاية: لنفترض أن $(u_n)$ تتقارب نحو نهاية $\ell$. بالانتقال إلى النهاية في علاقة التراجع $u_{n+1}=\frac{u_n^2+2}{2u_n}$، نحصل على:

$$\ell =\frac{{\ell }^2+2}{2\ell }$$

أي $2{\ell }^2={\ell }^2+2$، إذن ${\ell }^2=2$، ومنه $\ell =\sqrt{2}$ أو $\ell =-\sqrt{2}$.

بما أن $u_n>0$ من أجل كل $n$، فإن $\ell \ge 0$ بالضرورة، إذن $\ell =\sqrt{2}$.

الاستنتاج: المتتالية $(u_n)$ تتقارب و $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\sqrt{2}$.