المتتاليات العددية الأولى باك ع.ر

الخطوة 1 – ثبات المجال $\left]0;2\right[$

لنفترض $u_n\in \left]0;2\right[$. لدينا $u_n>0$ إذن $u_n+1>1>0$، مما يضمن أن $u_{n+1}$ معرف جيدًا.

لنبيّن $u_{n+1}>0$: بما أن $u_n>0$ و $u_n+1>0$، فإن $\frac{u_n}{2}>0$ و $\frac{1}{u_n+1}>0$، إذن $u_{n+1}>0$.

لنبيّن $u_{n+1}<2$: نحسب

$$u_{n+1}-2=\frac{u_n}{2}+\frac{1}{u_n+1}-2=\frac{u_n(u_n+1)+2-4(u_n+1)}{2(u_n+1)}=\frac{u_n^2-3u_n-2}{2(u_n+1)}$$

ولكن $u_n\in \left]0;2\right[$ إذن $u_n^2<4$، و $3u_n>0$، إذن $u_n^2-3u_n-2<4-0-2=2$… لنُدقق: لنضع $f(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{x+1}$. لدينا $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{(x+1{)}^2}$. على $\left]0;2\right[$، لدينا $(x+1{)}^2>1$ إذن $f^{\prime }(x)>0$: الدالة $f$ متزايدة. إذن $f(x)<f(2)=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}<2$.

بالتراجع (الأساس: $u_0=\frac{1}{2}\in \left]0;2\right[$)، نستنتج أن $u_n\in \left]0;2\right[$ من أجل كل $n\ge 0$.

الخطوة 2 – المتتالية محدودة من الأعلى بـ $2$

حسب الخطوة 1، لدينا $u_n<2$ من أجل كل $n\ge 0$. إذن المتتالية $(u_n)$ محدودة من الأعلى بـ $2$.

وبالمثل، $u_n>0$ من أجل كل $n\ge 0$، إذن المتتالية أيضًا محدودة من الأسفل بـ $0$. المتتالية $(u_n)$ إذن محدودة.

الخطوة 3 – تقارب المتتالية (خطوة خاطئة)

لقد بيّنا للتو أن المتتالية $(u_n)$ محدودة من الأعلى بـ $2$ ومن الأسفل بـ $0$، إذن هي محدودة.

والحال أن كل متتالية محدودة تكون متقاربة. يمكننا إذن أن نؤكد أن المتتالية $(u_n)$ تتقارب نحو نهاية $\ell \in [0;2]$.

الخطوة 4 – حساب النهاية $\ell$

بما أن (حسب الخطوة 3) المتتالية تتقارب نحو $\ell$، ننتقل إلى النهاية في علاقة التراجع:

$$\ell =\frac{\ell }{2}+\frac{1}{\ell +1}$$

$$\ell -\frac{\ell }{2}=\frac{1}{\ell +1}⟹\frac{\ell }{2}=\frac{1}{\ell +1}⟹\ell (\ell +1)=2⟹{\ell }^2+\ell -2=0$$

نحلل: ${\ell }^2+\ell -2=(\ell -1)(\ell +2)=0$، إذن $\ell =1$ أو $\ell =-2$.

بما أن $\ell \in [0;2]$، نحتفظ بـ $\ell =1$.

نستنتج: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=1$.

الخطوة 5 – التحقق (ما كان يجب فعله في الخطوة 3)

لنكون دقيقين، لنحسب $u_{n+1}-u_n$:

$$u_{n+1}-u_n=\frac{u_n}{2}+\frac{1}{u_n+1}-u_n=-\frac{u_n}{2}+\frac{1}{u_n+1}=\frac{-u_n(u_n+1)+2}{2(u_n+1)}=\frac{-u_n^2-u_n+2}{2(u_n+1)}$$

نحلل البسط: $-u_n^2-u_n+2=-(u_n^2+u_n-2)=-(u_n-1)(u_n+2)$.

بما أن $u_n\in \left]0;2\right[$، لدينا $u_n+2>0$ و $u_n+1>0$. علاوة على ذلك، إذا كان $u_n<1$ فإن $u_n-1<0$ إذن $u_{n+1}-u_n>0$… تُظهر الدراسة الكاملة أن المتتالية ليست بالضرورة رتيبة على كل $\mathbb{N}$ دون معلومة إضافية حول إشارة $u_n-1$. لهذا السبب لم يكن الحد وحده كافيًا لاستنتاج التقارب.