المتتاليات العددية الأولى باك ع.ر

الخطوة 1 — حساب الحدود الأولى

من أجل $n=1$: $u_1=\frac{2\times 1+1}{1+3}=\frac{3}{4}$

من أجل $n=2$: $u_2=\frac{2\times 2+1}{2+3}=\frac{5}{5}=1$

من أجل $n=3$: $u_3=\frac{2\times 3+1}{3+3}=\frac{7}{6}$

نلاحظ أن $u_1=\frac{3}{4}<u_2=1<u_3=\frac{7}{6}$، مما يوحي بأن المتتالية متزايدة.

الخطوة 2 — حسن التعريف والإيجابية

من أجل كل $n\ge 1$، لدينا $n+3\ge 4>0$، إذن المقام لا ينعدم أبدًا: المتتالية معرفة جيدًا على ${\mathbb{N}}^{\ast }$.

علاوة على ذلك، من أجل كل $n\ge 1$: $2n+1\ge 3>0$ و $n+3\ge 4>0$، إذن $u_n=\frac{2n+1}{n+3}>0$ من أجل كل $n\ge 1$.

الخطوة 3 — اتجاه التغير (الخطوة التي تحتوي على الخطأ)

لدراسة اتجاه التغير، لنحسب $u_{n+1}$:

$$u_{n+1}=\frac{2(n+1)+1}{(n+1)+3}=\frac{2n+3}{n+4}$$

من أجل كل $n\ge 1$، لدينا $2n+3\ge 5>0$ و $n+4\ge 5>0$، إذن:

$$u_{n+1}=\frac{2n+3}{n+4}>0$$

بما أن $u_{n+1}>0$ من أجل كل $n\ge 1$، نستنتج أن المتتالية $(u_n)$ متزايدة.

الخطوة 4 — تأطير $u_n$

بما أن المتتالية متزايدة (حسب الخطوة السابقة)، فإن أصغر قيمة لها تكون عند $n=1$: $u_1=\frac{3}{4}$.

من جهة أخرى، لندرس سلوك $u_n$ عندما يكبر $n$:

$$u_n=\frac{2n+1}{n+3}=\frac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n}}\underset{n\to +\infty }{\to }2$$

بما أن $u_n<2$ من أجل كل $n\ge 1$ (لأن $2n+1<2(n+3)=2n+6$)، فإن المتتالية محدودة من الأعلى بـ $2$.

نحصل إذن على التأطير: من أجل كل $n\ge 1$،

$$\frac{3}{4}\le u_n<2$$

الخطوة 5 — الاستنتاج

المتتالية $(u_n)=\left(\frac{2n+1}{n+3}\right)$:

• معرفة جيدًا وموجبة تمامًا من أجل كل $n\ge 1$.
• متزايدة من أجل كل $n\ge 1$.
• محدودة من الأسفل بـ $\frac{3}{4}$ (القيمة المبلوغة عند $n=1$) ومحدودة من الأعلى بـ $2$ (النهاية غير مبلوغة).

لدينا التأطير: $\frac{3}{4}\le u_n<2$ من أجل كل $n\ge 1$.