الجداء السلمي الأولى باك ع.ر

الخطوة 1 — حساب الجداءات السلمية (السؤال أ.1)

في معلم متعامد ممنظم، يساوي الجداء السلمي لمتجهتين إحداثيتاهما $(x_1,y_1)$ و $(x_2,y_2)$ المقدار $x_1{x}_2+y_1{y}_2$.

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=3\times 2+4\times (-1)=6-4=2$$

$$\vec{u}\cdot \vec{w}=3\times 1+4\times 2=3+8=11$$

$$\vec{v}\cdot \vec{w}=2\times 1+(-1)\times 2=2-2=0$$

نلاحظ بصفة خاصة أن $\vec{v}\cdot \vec{w}=0$، إذن $\vec{v}$ و $\vec{w}$ متعامدتان.

الخطوة 2 — أنماط المتجهات (السؤال أ.2)

نستعمل العلاقة $\Vert \vec{u}{\Vert }^2=\vec{u}\cdot \vec{u}=x^2+y^2$.

$$\Vert \vec{u}{\Vert }^2=3^2+4^2=9+16=25⟹\Vert \vec{u}\Vert =5$$

$$\Vert \vec{v}{\Vert }^2=2^2+(-1{)}^2=4+1=5⟹\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{5}$$

$$\Vert \vec{w}{\Vert }^2=1^2+2^2=1+4=5⟹\Vert \vec{w}\Vert =\sqrt{5}$$

الخطوة 3 — الحساب الصحيح للمتجهة $\vec{a}=(\vec{u}\cdot \vec{v})\vec{w}$ (السؤال ب.3)

لقد حسبنا $\vec{u}\cdot \vec{v}=2$. وهذا عدد حقيقي (سلمي). نضرب إذن هذا العدد السلمي في المتجهة $\vec{w}=\vec{i}+2\vec{j}$:

$$\vec{a}=2\vec{w}=2(\vec{i}+2\vec{j})=2\vec{i}+4\vec{j}$$

إذن إحداثيتا المتجهة $\vec{a}$ هما $(2,4)$.

الخطوة 4 — تطبيق «تجميعية» الجداء السلمي (السؤال ب.4) — ⚠ الخطوة التي تحتوي على الخطأ

يريد التلميذ التحقق مما إذا كان بالإمكان «إعادة تجميع» الحدود. فيكتب:

$$\vec{a}=(\vec{u}\cdot \vec{v})\vec{w}\stackrel{?}{=}\vec{u}\cdot (\vec{v}\cdot \vec{w})$$

وبما أن $\vec{v}\cdot \vec{w}=0$ عدد سلمي، فإن العبارة $\vec{u}\cdot (\vec{v}\cdot \vec{w})$ تُفسَّر — حسب التلميذ — كجداء سلمي جديد بين $\vec{u}$ و«المتجهة» $(\vec{v}\cdot \vec{w})$. فيضع إذن:

$$\vec{u}\cdot (\vec{v}\cdot \vec{w})=\vec{u}\cdot 0=0$$

ويستنتج أن $\vec{a}=\vec{0}$ (المتجهة المعدومة).

وبالمثل، عند محاولة التجميع الآخر $(\vec{v}\cdot \vec{w})\vec{u}=0\times \vec{u}=\vec{0}$، يحصل مرة أخرى على $\vec{0}$ ويعتقد أن العبارتين متطابقتان، مما يؤكد في نظره «التجميعية».

الخطوة 5 — الاستنتاج بخصوص عدم التجميعية وحساب المسقط العمودي (السؤال ب.5)

في الحقيقة، $\vec{a}=(\vec{u}\cdot \vec{v})\vec{w}=2\vec{i}+4\vec{j}\ne \vec{0}$، مما يبين أن المساواة $(\vec{u}\cdot \vec{v})\vec{w}=\vec{u}\cdot (\vec{v}\cdot \vec{w})$ خاطئة بصفة عامة: فالجداء السلمي ليس تجميعيا.

أما بخصوص المسقط العمودي للمتجهة $\vec{u}$ على المستقيم الموجه بالمتجهة $\vec{v}$، فنحسب:

$$\lambda =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{v}{\Vert }^2}=\frac{2}{5}$$

المسقط العمودي هو المتجهة:

$$\vec{p}=\lambda \vec{v}=\frac{2}{5}(2\vec{i}-\vec{j})=\frac{4}{5}\vec{i}-\frac{2}{5}\vec{j}$$

إحداثيتاه هما $\left(\frac{4}{5},-\frac{2}{5}\right)$.