الجداء السلمي الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 — حساب المتجهات ونظائمها.

نقرأ مباشرة الإحداثيات:

• $\overrightarrow{AB}=B-A=(6,0)$، إذن $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =6$.
• $\overrightarrow{AC}=C-A=(2,4)$، إذن $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert =\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
• $\overrightarrow{BC}=C-B=(2-6,4-0)=(-4,4)$، إذن $\Vert \overrightarrow{BC}\Vert =\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$.

نرمز أيضاً بـ $\overrightarrow{BA}=A-B=(-6,0)$، ونظيمته $\Vert \overrightarrow{BA}\Vert =6$.

المرحلة 2 — حساب $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ بصيغة الإسقاط.

صيغة الجداء السلمي بواسطة الإسقاط تُكتب:

حيث $\overline{AH}$ هو الإسقاط الجبري لـ $\overrightarrow{v}$ على $\overrightarrow{u}$.

هنا، نسقط $\overrightarrow{AC}$ على اتجاه $\overrightarrow{AB}$ (محور الأفاصيل). الإسقاط الجبري لـ $\overrightarrow{AC}=(2,4)$ على $\overrightarrow{AB}=(6,0)$ يساوي المركبة الأفقية لـ $\overrightarrow{AC}$، أي $+2$.

إذن:

(يمكن التحقق بالإحداثيات: $6\times 2+0\times 4=12$. ✓)

المرحلة 3 — حساب $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$ بصيغة الإسقاط.

نطبق الصيغة نفسها: $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=\Vert \overrightarrow{BA}\Vert \times p$، حيث $p$ هو الإسقاط الجبري لـ $\overrightarrow{BC}$ على اتجاه $\overrightarrow{BA}$.

$\overrightarrow{BA}=(-6,0)$ موجه نحو جهة الأفاصيل السالبة. $\overrightarrow{BC}=(-4,4)$. مركبة $\overrightarrow{BC}$ في اتجاه $\overrightarrow{BA}$ هي $-4$.

لكن $\overrightarrow{BA}$ يشير إلى الجهة السالبة للأفاصيل، إذن الإسقاط الجبري لـ $\overrightarrow{BC}$ على $\overrightarrow{BA}$ يساوي $+4$ (نفس جهة $\overrightarrow{BA}$).

غير أنه، بدل الاحتفاظ بهذه القيمة الجبرية الموجهة، نأخذ قيمتها المطلقة «تحسباً» في الحساب:

نحتفظ إذن بـ $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=24$.

المرحلة 4 — إحداثيتا $H$، قدم الارتفاع الصادر من $C$.

$H$ هو المسقط العمودي لـ $C$ على $(AB)$. بما أن $(AB)$ هو محور الأفاصيل، فإن ترتيبة $H$ تساوي $0$ وأفصولها هي إسقاط $\overrightarrow{AC}$ على $\overrightarrow{AB}$، الذي سبق حسابه: $2$.

إذن $H=(2,0)$.

تحقق من الاتساق: $\overrightarrow{AH}=(2,0)$، $\Vert \overrightarrow{AH}\Vert =2$، و $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\Vert \overrightarrow{AB}\Vert \times \Vert \overrightarrow{AH}\Vert =6\times 2=12$. ✓

المرحلة 5 — حساب $\cos (\widehat{ABC})$ وطبيعة الزاوية.

صيغة الجداء السلمي تعطي:

لدينا $\Vert \overrightarrow{BA}\Vert =6$، $\Vert \overrightarrow{BC}\Vert =4\sqrt{2}$، وقد حصلنا على $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=24$ (قيمة مشوبة بخطأ).

إذن:

نستنتج أن $\cos (\widehat{ABC})=\frac{\sqrt{2}}{2}>0$، إذن $\widehat{ABC}=45°$ والزاوية $\widehat{ABC}$ حادة.