الجداء السلمي الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 — إحداثيتا المتجهين $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AD}$.

نقرأ مباشرة الإحداثيات في المعلم $(O;\vec{i},\vec{j})$:

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(3-1,1-1)=(2,0),$$

$$\overrightarrow{AD}=D-A=(2-1,3-1)=(1,2).$$

إذن إحداثيتا $\overrightarrow{AB}$ هما $(2,0)$ وإحداثيتا $\overrightarrow{AD}$ هما $(1,2)$ في المعلم المعطى.

المرحلة 2 — نظيما $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AD}$.

المعلم متعامد بحيث $\Vert \vec{i}\Vert =2$ و $\Vert \vec{j}\Vert =3$. إذا كان لمتجه إحداثيتان $(x,y)$ في هذا المعلم، فإن نظيمته الحقيقية هي:

$$\Vert x\vec{i}+y\vec{j}\Vert =\sqrt{(x\Vert \vec{i}\Vert {)}^2+(y\Vert \vec{j}\Vert {)}^2}=\sqrt{(2x{)}^2+(3y{)}^2}.$$

من أجل $\overrightarrow{AB}=2\vec{i}+0\vec{j}$:

$$\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\sqrt{(2\times 2{)}^2+(3\times 0{)}^2}=\sqrt{16}=4.$$

من أجل $\overrightarrow{AD}=1\vec{i}+2\vec{j}$:

$$\Vert \overrightarrow{AD}\Vert =\sqrt{(2\times 1{)}^2+(3\times 2{)}^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.$$

المرحلة 3 — حساب الجداء السلمي $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}$.

إحداثيتا $\overrightarrow{AB}$ هما $(2,0)$ وإحداثيتا $\overrightarrow{AD}$ هما $(1,2)$ في المعلم $(O;\vec{i},\vec{j})$.

نطبق صيغة الجداء السلمي بالإحداثيات:

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=2\times 1+0\times 2=2+0=2.$$

إذن $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=2$.

المرحلة 4 — حساب الزاوية $\widehat{DAB}$.

نستعمل العلاقة:

$$\cos (\widehat{DAB})=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}}{\Vert \overrightarrow{AB}\Vert \times \Vert \overrightarrow{AD}\Vert }=\frac{2}{4\times 2\sqrt{10}}=\frac{2}{8\sqrt{10}}=\frac{1}{4\sqrt{10}}.$$

نحسب عددياً: $4\sqrt{10}\approx 4\times 3,162=12,649$، إذن

$$\cos (\widehat{DAB})\approx \frac{1}{12,649}\approx 0,0791.$$

وبالتالي $\widehat{DAB}\approx \arccos (0,0791)\approx 85,5°$.

المرحلة 5 — استنتاج طبيعة متوازي الأضلاع.

لدينا $\widehat{DAB}\approx 85,5°\ne 90°$، إذن الضلعان $AB$ و $AD$ غير متعامدين.

من جهة أخرى، $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =4\ne 2\sqrt{10}=\Vert \overrightarrow{AD}\Vert$، إذن الضلعان المتتاليان ليسا متساويي الطول.

الاستنتاج: $ABCD$ متوازي أضلاع عادي (لا مستطيل ولا معين).