الجداء السلمي الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 — حساب المتجهات ونظائمها.

نقرأ الإحداثيات:

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(5-1,2-2)=(4,0)$$

$$\overrightarrow{AC}=C-A=(3-1,6-2)=(2,4)$$

$$\overrightarrow{BC}=C-B=(3-5,6-2)=(-2,4)$$

النظائم:

$$\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\sqrt{4^2+0^2}=4$$

$$\Vert \overrightarrow{AC}\Vert =\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$$

$$\Vert \overrightarrow{BC}\Vert =\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$$

نلاحظ أن $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert =\Vert \overrightarrow{BC}\Vert =2\sqrt{5}$، إذن المثلث $ABC$ متساوي الساقين في $C$.

المرحلة 2 — الجداء السلمي $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ والزاوية $\widehat{BAC}$.

بالصيغة التحليلية:

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\times 2+0\times 4=8$$

صيغة الجداء السلمي تعطي:

$$\cos \widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{\Vert \overrightarrow{AB}\Vert \times \Vert \overrightarrow{AC}\Vert }=\frac{8}{4\times 2\sqrt{5}}=\frac{8}{8\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$

إذن $\widehat{BAC}=\arccos \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\approx 63,43°$.

ملاحظة: بما أن $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=8\ne 0$، فإن المتجهين $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}$ غير متعامدين.

المرحلة 3 — التعبير عن $\overrightarrow{AM}$ وحساب $\Vert \overrightarrow{AM}{\Vert }^2$.

$M$ هو منتصف $[BC]$، إذن حسب علاقة المنتصف:

$$\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$$

نحسب إذن:

$$\Vert \overrightarrow{AM}{\Vert }^2={\Vert \frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}\Vert }^2=\frac{1}{4}{\Vert \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\Vert }^2$$

ننشر الآن ${\Vert \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\Vert }^2$. بما أن $\overrightarrow{AB}=(4,0)$ أفقي و $\overrightarrow{AC}=(2,4)$ «مائل»، نعتبر هذين المتجهين مستقلين ونطبق:

$${\Vert \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\Vert }^2=\Vert \overrightarrow{AB}{\Vert }^2+\Vert \overrightarrow{AC}{\Vert }^2=16+20=36$$

ومنه:

$$\Vert \overrightarrow{AM}{\Vert }^2=\frac{36}{4}=9\text{أي}\Vert \overrightarrow{AM}\Vert =3$$

المرحلة 4 — التحقق باستعمال إحداثيتي $M$.

إحداثيتا منتصف $[BC]$ وهو $M$ هما:

$$M=\left(\frac{5+3}{2},\frac{2+6}{2}\right)=(4,4)$$

إذن:

$$\overrightarrow{AM}=(4-1,4-2)=(3,2)$$

وبالتالي:

$$\Vert \overrightarrow{AM}{\Vert }^2=3^2+2^2=9+4=13$$

نحصل على $\Vert \overrightarrow{AM}{\Vert }^2=13$، أي $\Vert \overrightarrow{AM}\Vert =\sqrt{13}$.

هذه النتيجة مختلفة عن تلك التي وُجدت في المرحلة 3 ($\Vert \overrightarrow{AM}\Vert =3$)، مما يؤكد أن خطأ قد وقع في النشر السابق.