الجداء السلمي الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 — تطبيق صيغة الاستقطاب

علاقة الاستقطاب (المتطابقة المستمدة من قاعدة جيب التمام) تعطي:

نُعوّض $AB=5$، $AC=4$، $BC=7$:

إذن $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-4$.

المرحلة 2 — حساب $\cos (\widehat{BAC})$ وطبيعة الزاوية

بحسب التعريف الهندسي للجداء السلمي:

إذن:

بما أن $\cos (\widehat{BAC})=-\frac{1}{5}<0$، فإن الزاوية $\widehat{BAC}$ منفرجة (محصورة بين $90°$ و $180°$).

المرحلة 3 — التعبير باستعمال الإسقاط المتعامد

ليكن $H$ قدم الارتفاع الصادر من $A$، أي المسقط المتعامد للنقطة $A$ على $(BC)$. لدينا الصيغة:

بما أن الزاوية $\widehat{BAC}$ منفرجة، فإن النقطة $H$ تقع خارج القطعة $[BC]$، من جهة $B$. في هذه الحالة:

نجد من جديد $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-4$، وهو متوافق مع الجزء أ. ✓

المرحلة 4 — حساب $BH$ و $HC$ في المثلثين القائمين

بما أن الزاوية $\widehat{BAC}$ منفرجة، فإن القدم $H$ يقع خارج $[BC]$، من جهة $B$. نضع $BH=x>0$، و $HC=BH+BC$ ليست الوضعية الصحيحة — لنُعِد النظر.

في الواقع، تقع $H$ على المستقيم $(BC)$ خارج القطعة، إذن $HC=BC+BH=7+x$. لكن لنستعمل مباشرة المثلثين القائمين في $H$:

في المثلث القائم $ABH$ (الزاوية القائمة في $H$):

في المثلث القائم $ACH$ (الزاوية القائمة في $H$):

بمساواة الطرفين:

القيمة السالبة لـ $x$ تؤكد أن الوضعية المختارة ليست الصحيحة. لنُعِد المحاولة: $H$ خارج القطعة من جهة $B$، إذن $B$ تقع بين $H$ و $C$. نضع $HB=x>0$، و $HC=HB+BC=x+7$.

نحصل على نفس المعادلة، مما يُبيّن أن $H$ تقع بالفعل من جهة $B$ بحيث $BH=\frac{29}{7}$ و $HC=\frac{29}{7}+7=\frac{78}{7}$.

لنتحقق: $A{H}^2=25-{\left(\frac{29}{7}\right)}^2=25-\frac{841}{49}=\frac{1225-841}{49}=\frac{384}{49}>0.$ ✓

المرحلة 5 — التحقق باستعمال التعريف الهندسي (الإسقاط)

نستعمل صيغة الإسقاط: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times A{H}^{\prime }$ حيث $A{H}^{\prime }$ هو الإسقاط الجبري للمتجهة $\overrightarrow{AC}$ على $\overrightarrow{AB}$.

بطريقة أخرى، يمكن كتابة:

بما أن $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$ وأن $\overrightarrow{HC}$ خطية مع $\overrightarrow{BC}$، لدينا $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{HC}=0$... تُبسَّط هذه المقاربة بشكل أفضل كالتالي:

المسقط المتعامد للنقطة $C$ على $(AB)$ يعطي $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos (\widehat{BAC})$.

لدينا $\cos (\widehat{BAC})=-\frac{1}{5}$، إذن:

جميع الطرق متوافقة: $\boxed{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-4}$، والزاوية $\widehat{BAC}$ منفرجة.

المرحلة 6 — التحقق النهائي: $BH+HC=BC$

وجدنا $BH=\frac{29}{7}$ و $HC=\frac{78}{7}$.

وبما أن $H$ تقع خارج القطعة $[BC]$ (من جهة $B$)، فإن العلاقة الصحيحة هي $HC-HB=BC$، أي:

التحقق مُستوفى بالفعل. وبالمقابل، لو افتُرض خطأً أن $\widehat{BAC}$ زاوية حادة (وبالتالي $H$ داخل $[BC]$)، لكُتِب $BH+HC=7$ ولنتجت قيمة موجبة لـ $\cos (\widehat{BAC})$، وهو ما كان سيتناقض مع نتيجة الجزء أ. الزاوية بالفعل منفرجة و $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-4$.