الاحتمالات الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — الاحتمالات الفردية.

الكون هو $\Omega =\{1,2,3,4\}$، ولكل نتيجة احتمال $\frac{1}{4}$.

• $A=\{1,2\}$، إذن $P(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
• $B=\{1,3\}$، إذن $P(B)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
• $C=\{1,4\}$، إذن $P(C)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

المرحلة 2 — التقاطعات مثنى مثنى والاستقلالية الثنائية.

نحدد التقاطعات:

• $A\cap B=\{1,2\}\cap \{1,3\}=\{1\}$، إذن $P(A\cap B)=\frac{1}{4}$.
• $A\cap C=\{1,2\}\cap \{1,4\}=\{1\}$، إذن $P(A\cap C)=\frac{1}{4}$.
• $B\cap C=\{1,3\}\cap \{1,4\}=\{1\}$، إذن $P(B\cap C)=\frac{1}{4}$.

نتحقق من الاستقلالية مثنى مثنى:

• $P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}=P(A\cap B)$ ✓
• $P(A)\cdot P(C)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}=P(A\cap C)$ ✓
• $P(B)\cdot P(C)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}=P(B\cap C)$ ✓

الشروط الثلاثة للاستقلالية مثنى مثنى محققة: $A$ و $B$ و $C$ مستقلة مثنى مثنى.

المرحلة 3 — التقاطع الثلاثي.

نحسب:

إذن $P(A\cap B\cap C)=\frac{1}{4}$.

المرحلة 4 — الاستنتاج بخصوص الاستقلالية المتبادلة.

تكون الأحداث الثلاثة $A$ و $B$ و $C$ مستقلة تبادليا إذا وفقط إذا كانت مستقلة مثنى مثنى.

وقد بيّنا في المرحلة 2 أن:

وبما أن الشروط الثلاثة للاستقلالية الثنائية محققة، نستنتج أن $A$ و $B$ و $C$ مستقلة تبادليا.

المرحلة 5 — التركيب.

خلاصة القول: النرد ذو 4 أوجه يُقدّم مثالا على أحداث مستقلة مثنى مثنى، وحسب استنتاج المرحلة 4، مستقلة تبادليا أيضا. يمكن إذن استعمال الصيغة $P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)$ في أي حساب لاحق يخص هذه الأحداث الثلاثة.