الاحتمالات الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — القيم الممكنة لـ$X$ والنمذجة.

يحتوي الكيس على 7 كرات منها 4 حمراء و3 زرقاء. نسحب 3 كرات بدون إحلال. في كل سحب، يمكن الحصول على كرة حمراء أو غير ذلك. عدد الكرات الحمراء المحصل عليها يحقق:

• $X\ge 0$ (يمكن ألا نسحب أي كرة حمراء)،
• $X\le 3$ (نسحب 3 كرات في المجموع)،
• $X\le 4$ (لا يوجد سوى 4 كرات حمراء) — هذا الشرط أقل تقييدا.

إذن $X\in \{0,1,2,3\}$. قانون $X$ هو قانون فوق هندسي بمعلمات $N=7$، $K=4$، $n=3$، وصيغته العامة هي:

نحسب أولا $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)=\frac{7!}{3!4!}=35$.

المرحلة 2 — حساب الاحتمالات $P(X=k)$.

بتطبيق الصيغة الفوق هندسية:

• $P(X=0)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{0}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)}{35}=\frac{1\times 1}{35}=\frac{1}{35}$
• $P(X=1)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)}{35}=\frac{4\times 3}{35}=\frac{12}{35}$
• $P(X=2)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)}{35}=\frac{6\times 3}{35}=\frac{18}{35}$
• $P(X=3)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0}\right)}{35}=\frac{4\times 1}{35}=\frac{4}{35}$

تحقق: $\frac{1+12+18+4}{35}=\frac{35}{35}=1.$ ✓

المرحلة 3 — الأمل الرياضي والتباين للقانون الفوق هندسي.

نستعمل الصيغ المباشرة للقانون الفوق هندسي:

نحسب خطوة بخطوة:

نبسّط: $\frac{144}{294}=\frac{24}{49}$.

إذن $E(X)=\frac{12}{7}$ و$V(X)=\frac{24}{49}$.

المرحلة 4 — النمذجة بالقانون الثنائي (المرحلة التي تحتوي على الخطأ).

في كل سحب، احتمال الحصول على كرة حمراء يساوي $p=\frac{4}{7}$ (نسبة الكرات الحمراء في الكيس). نجري $n=3$ سحبات، وفي كل سحب توجد نتيجتان ممكنتان: حمراء أو غير حمراء.

بما أن هذه الشروط الثلاثة مجتمعة، نستنتج أن $X$ يتبع قانونا ثنائيا $B\left(3,\frac{4}{7}\right)$.

نحسب إذن:

يستنتج التلميذ إذن: $E(X)=\frac{12}{7}$ و$V(X)=\frac{36}{49}$.

المرحلة 5 — المقارنة والاستنتاج.

بمقارنة النموذجين:

الأملان الرياضيان متطابقان (وهذا ليس صدفة: $E(X)=np$ في كلا النموذجين)، لكن التباينين مختلفان: $\frac{24}{49}\ne \frac{36}{49}$.

معامل التصحيح للقانون الفوق هندسي هو $\frac{N-n}{N-1}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$، وهو ما يعطي فعلا $V_{\text{hyper}}=\frac{2}{3}\times V_{\text{binom}}=\frac{2}{3}\times \frac{36}{49}=\frac{24}{49}$. القانون الثنائي يبالغ في تقدير التباين لأنه يتجاهل الترابط بين السحبات.