الاحتمالات الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 – وصف الأحداث وحساب الاحتمالات.

الكون هو $\Omega =\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$، وعدد عناصره $|\Omega |=10$. كل كرة متساوية الحظوظ، إذن $P(\{k\})=\frac{1}{10}$ لكل $k$.

• $A$: مضاعفات 3 في $\{1,\dots ,10\}$: $A=\{3,6,9\}$، إذن $P(A)=\frac{3}{10}$.
• $B$: مضاعفات 4 في $\{1,\dots ,10\}$: $B=\{4,8\}$، إذن $P(B)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$.
• $C$: الأعداد الزوجية في $\{1,\dots ,10\}$: $C=\{2,4,6,8,10\}$، إذن $P(C)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$.

المرحلة 2 – تنافي $A$ و$B$، وحساب $P(A\cup B)$.

نبحث عن $A\cap B$: يجب أن نجد عددا صحيحا بين 1 و10 يكون في آن واحد من مضاعفات 3 ومن مضاعفات 4، أي من مضاعفات $\text{ppcm}(3,4)=12$. لكن $12>10$، إذن $$A\cap B=\varnothing .$$

الحدثان $A$ و$B$ إذن متنافيان.

حسب صيغة الجمع: $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{3}{10}+\frac{1}{5}=\frac{3}{10}+\frac{2}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.$$

المرحلة 3 – استقلالية $A$ و$B$. [المرحلة التي تحتوي على الخطأ]

لقد بيّنا للتو أن $A\cap B=\varnothing$، وهذا يعني أن $A$ و$B$ ليس لهما أي نتيجة مشتركة: فهما منفصلان تماما.

بما أن $A$ و$B$ «ليس بينهما أي شيء مشترك»، فإن تحقق أحدهما لا يمكن أن يؤثر على الآخر. نستنتج إذن أن:

$A$ و$B$ مستقلان.

فعلا، $P(A\cap B)=0$، وبما أن الحدثين منفصلان، فإن هذه القيمة المعدومة تعبّر بالضبط عن غياب أي علاقة بينهما، وهذا هو تعريف الاستقلالية.

المرحلة 4 – حساب $P(A\cap C)$ و$P(A\mid C)$.

نبحث عن $A\cap C$: الكرات التي تكون في آن واحد من مضاعفات 3 وزوجية، أي من مضاعفات $\text{ppcm}(3,2)=6$. في $\{1,\dots ,10\}$: $A\cap C=\{6\}$.

إذن: $$P(A\cap C)=\frac{1}{10}.$$

الاحتمال الشرطي لـ$A$ علما بـ$C$ هو: $$P(A\mid C)=\frac{P(A\cap C)}{P(C)}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{10}\times 2=\frac{1}{5}.$$

المرحلة 5 – استقلالية $A$ و$C$.

لكي يكون $A$ و$C$ مستقلين، يجب التحقق من أن $P(A\cap C)=P(A)\cdot P(C)$.

نحسب: $$P(A)\cdot P(C)=\frac{3}{10}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{20}.$$

لكن $P(A\cap C)=\frac{1}{10}=\frac{2}{20}$.

وبما أن $\frac{2}{20}\ne \frac{3}{20}$، فإن $P(A\cap C)\ne P(A)\cdot P(C)$.

يمكننا أيضا التحقق: $P(A\mid C)=\frac{1}{5}=\frac{2}{10}\ne \frac{3}{10}=P(A)$.

الحدثان $A$ و$C$ غير مستقلين.