كثيرات الحدود ومعادلات الدرجة الثانية الجذع المشترك

المرحلة 1 — حساب المميز.

الثلاثية هي $f(x)=m{x}^2-(m+3)x+(m+1)$، إذن:

$$a=m,b=-(m+3),c=m+1$$

المميز هو:

$$\Delta =b^2-4ac=(m+3{)}^2-4\cdot m\cdot (m+1)$$

نطور:

$$(m+3{)}^2=m^2+6m+9$$

$$4m(m+1)=4m^2+4m$$

إذن:

$$\Delta =m^2+6m+9-4m^2-4m=-3m^2+2m+9$$

المرحلة 2 — حل $\Delta <0$.

نبحث عن قيم $m$ التي تحقق $-3m^2+2m+9<0$، أي:

$$3m^2-2m-9>0$$

مميز هذه الثلاثية بدلالة $m$ هو:

$$\delta =(-2{)}^2-4\cdot 3\cdot (-9)=4+108=112$$

$$\sqrt{\delta }=4\sqrt{7}$$

الجذران هما:

$$m_1=\frac{2-4\sqrt{7}}{6}=\frac{1-2\sqrt{7}}{3},m_2=\frac{2+4\sqrt{7}}{6}=\frac{1+2\sqrt{7}}{3}$$

بما أن معامل $m^2$ في $3m^2-2m-9$ موجب، فإن القطع المكافئ متجه نحو الأعلى، إذن:

$$\Delta <0⟺m<\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\text{أو}m>\frac{1+2\sqrt{7}}{3}$$

المرحلة 3 — استنتاج حول موجبية $f$ (المرحلة التي تحتوي على الخطأ).

لكي يكون $f(x)>0$ لكل $x\in \mathbb{R}$، يجب ويكفي أن لا تقبل الثلاثية $f$ جذوراً حقيقية، أي أن $\Delta <0$.

حسب المرحلة السابقة، يتحقق هذا الشرط من أجل:

$$m\in \left]-\infty ,\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\right[\cup \left]\frac{1+2\sqrt{7}}{3},+\infty \right[$$

نستنتج إذن أن $f(x)>0$ لكل $x\in \mathbb{R}$ إذا وفقط إذا انتمت $m$ إلى هذه المجموعة.

المرحلة 4 — التحقق من أجل $m=-\frac{1}{2}$.

نلاحظ أن $m=-\frac{1}{2}$ تحقق $m<\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\approx -1,43$... لننتظر: $-\frac{1}{2}=-0,5>-1,43$، إذن $m=-\frac{1}{2}$ لا تنتمي إلى المجموعة الموجودة. ومع ذلك، لنحسب $\Delta$ من أجل $m=-\frac{1}{2}$:

$$\Delta =-3{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+2\left(-\frac{1}{2}\right)+9=-\frac{3}{4}-1+9=\frac{29}{4}>0$$

إذن تقبل $f$ جذرين حقيقيين من أجل $m=-\frac{1}{2}$، وهذا متوافق مع كون هذه القيمة لـ $m$ ليست في مجموعة $\Delta <0$. التحقق مؤكد إذن حسب الحل المقترح.

المرحلة 5 — تلخيص.

وخلاصة القول، حسب الحل المعروض:

• $\Delta =-3m^2+2m+9$
• $\Delta <0$ من أجل $m\in \left]-\infty ,\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\right[\cup \left]\frac{1+2\sqrt{7}}{3},+\infty \right[$
• $f(x)>0$ لكل $x\in \mathbb{R}$ إذا وفقط إذا انتمت $m$ إلى هذه المجموعة نفسها.