كثيرات الحدود ومعادلات الدرجة الثانية الجذع المشترك

المرحلة 1 – حساب المميز والجذرين.

نحدد المعاملات: $a=2$، $b=-7$، $c=-15$.

$$\Delta =b^2-4ac=(-7{)}^2-4\times 2\times (-15)=49+120=169$$

بما أن $\Delta =169>0$، تقبل كثيرة الحدود جذرين حقيقيين مميزين:

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{7-13}{4}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}$$

$$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{7+13}{4}=\frac{20}{4}=5$$

لدينا فعلاً $x_1=-\frac{3}{2}<x_2=5$.

المرحلة 2 – تحليل $f(x)$ إلى جداء عوامل.

بما أن $a=2$ والجذرين هما $x_1=-\frac{3}{2}$ و$x_2=5$، نكتب:

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=2\left(x+\frac{3}{2}\right)(x-5)$$

يمكن أيضاً كتابة، بتطوير العامل $(x+\frac{3}{2})$:

$$f(x)=(2x+3)(x-5)$$

تحقق سريع: $(2x+3)(x-5)=2x^2-10x+3x-15=2x^2-7x-15$ ✓

المرحلة 3 – جدول إشارة $f(x)$ على $\mathbb{R}$.

الجذران هما $x_1=-\frac{3}{2}$ و$x_2=5$. بما أن $a=2>0$، فإن القطع المكافئ متجه نحو الأعلى، إذن $f(x)\ge 0$ خارج الجذرين.

وبذلك، على $\mathbb{R}$: $f(x)\ge 0⟺x\in \left]-\infty ;-\frac{3}{2}\right]\cup \left[5;+\infty \right[$.

المرحلة 4 – حل $f(x)\ge 0$ على $I=[-2;4]$. [⚠ المرحلة التي تحتوي على الخطأ]

نقيد الآن المسألة بالمجال $I=[-2;4]$. على هذا المجال، الجذر $x_2=5$ هو خارج $I$ (لأن $5>4$). يستنتج التلميذ إذن أنه على $I$، الجذر $x_1=-\frac{3}{2}$ فقط هو الذي يجب أخذه بعين الاعتبار.

يرسم إذن جدول إشارة جزئياً متجاهلاً تأثير $x_2=5$:

بالتفكير كما لو أن $f$ لم تعد تغير إشارتها بعد $x_1=-\frac{3}{2}$ على $I$ (بما أن $x_2=5\notin I$)، يستنتج أن $f(x)\ge 0$ لكل $x\in \left[-\frac{3}{2};4\right]$.

الاستنتاج (الخاطئ): حل $f(x)\ge 0$ على $I$ هو $\left\{-2\right\}\cup \left[-\frac{3}{2};4\right]$، أي ${\left[-2;-\frac{3}{2}\right]}^c\cap I$... يبسط التلميذ قائلاً إن $f(-2)=2(4)+7(2)-15=8-14-15<0$، إذن $f(-2)<0$، ويحتفظ في النهاية بـ: $\mathcal{S}=\left[-\frac{3}{2};4\right]$.

المرحلة 5 – خلاصة.

بناءً على المنطق الخاطئ للمرحلة 4، يستنتج التلميذ:

$$\mathcal{S}=\left[-\frac{3}{2};4\right]$$

يفسر هذه النتيجة قائلاً: «على $[-2;4]$، كثيرة الحدود $f$ موجبة أو منعدمة بالضبط على $\left[-\frac{3}{2};4\right]$، بما أن الجذر الوحيد الموجود في المجال هو $x_1=-\frac{3}{2}$ وأن $f$ تبقى موجبة بعده إلى غاية الحد $4$.»