كثيرات الحدود ومعادلات الدرجة الثانية الجذع المشترك

المرحلة 1 — حساب المميز (الجزء أ، السؤال 1).

الثلاثية هي $P(x)=x^2-(m+3)x+(2m-1)$، إذن $a=1$، $b=-(m+3)$، $c=2m-1$.

المميز هو $$\Delta =b^2-4ac=(-(m+3){)}^2-4\times 1\times (2m-1).$$

نطور: $$\Delta =(m+3{)}^2-4(2m-1)=m^2+6m+9-8m+4=m^2-2m+13.$$

المرحلة 2 — الشكل القانوني (الجزء أ، السؤال 2).

نريد كتابة $\Delta =m^2-2m+13$ على الشكل $(m+a{)}^2+b$.

نكمل المربع: $$m^2-2m+13=(m-1{)}^2-1+13=(m-1{)}^2+12.$$

إذن $a=-1$ و$b=12$، أي $\Delta =(m-1{)}^2+12$.

بما أن $(m-1{)}^2\ge 0$ لكل عدد حقيقي $m$، فإن $\Delta \ge 12>0$ لكل $m\in \mathbb{R}$. تقبل الثلاثية $P(x)$ إذن دائماً جذرين حقيقيين مميزين، مهما كانت قيمة $m$.

المرحلة 3 — وضع علاقات فييت (الجزء ب، السؤال 3).

حسب صيغ فييت المطبقة على $P(x)=x^2-(m+3)x+(2m-1)$:

$$x_1+x_2=m+3\text{و}{x}_1\cdot x_2=2m-1.$$

نترجم الشرط $x_1+x_2=3(x_1\cdot x_2-1)$:

$$m+3=3((2m-1)-1)=3(2m-2)=6m-6.$$

نحل: $$m+3=6m-6⟹9=5m⟹m=\frac{9}{5}.$$

نستنتج مباشرة أن $m=\frac{9}{5}$.

المرحلة 4 — حساب الجذرين من أجل $m=\frac{9}{5}$ (الجزء ج، السؤال 4).

من أجل $m=\frac{9}{5}$، تصبح الثلاثية:

$$P(x)=x^2-\left(\frac{9}{5}+3\right)x+\left(2\cdot \frac{9}{5}-1\right)=x^2-\frac{24}{5}x+\frac{13}{5}.$$

نحسب $\Delta$ من أجل هذه القيمة:

$$\Delta ={\left(\frac{9}{5}-1\right)}^2+12={\left(\frac{4}{5}\right)}^2+12=\frac{16}{25}+12=\frac{316}{25}>0.$$

الجذران هما $$x_{1,2}=\frac{\frac{24}{5}\pm \frac{\sqrt{316}}{5}}{2}=\frac{24\pm \sqrt{316}}{10}=\frac{12\pm \sqrt{79}}{5}.$$

التحقق: $x_1+x_2=\frac{24}{5}=m+3$ ✓ و$x_1\cdot x_2=\frac{13}{5}=2m-1$ ✓.

نتحقق من العلاقة: $3(x_1{x}_2-1)=3\left(\frac{13}{5}-1\right)=3\cdot \frac{8}{5}=\frac{24}{5}=x_1+x_2$ ✓.

المرحلة 5 — خلاصة عامة.

القيمة $m=\frac{9}{5}$ هي القيمة الوحيدة للوسيط التي تحقق الشرط $x_1+x_2=3(x_1\cdot x_2-1)$.

الجذران المقابلان هما $$x_1=\frac{12+\sqrt{79}}{5}\text{و}{x}_2=\frac{12-\sqrt{79}}{5}.$$

ملاحظة غائبة لكن ضرورية: لم يتم التحقق من $\Delta \ge 0$ قبل تطبيق صيغ فييت في المرحلة 3. في هذا التمرين، هذا لا يغير الجواب النهائي لأن $\Delta >0$ لكل $m$ (كما تم بيانه في الجزء أ)، لكن المسار ناقص: استعمل التلميذ صيغ فييت دون الاستناد إلى هذه النتيجة المسبقة.